Spektralsequenz

ein Grenzwertprozess zur Berechnung von Homologiegruppen im mathematischen Teilgebiet der homologischen Algebra

Eine Spektralsequenz[1][2] oder Spektralfolge[3] ist ein Grenzwertprozess zur Berechnung von Homologiegruppen im mathematischen Teilgebiet der homologischen Algebra. Nach J. F. Adams sind Spektralsequenzen wie exakte Sequenzen, nur komplizierter. Wie für exakte Sequenzen gelte auch für Spektralsequenzen: sie bieten keine Erfolgsgarantie, sind aber trotzdem in den Händen der Fachleute häufig ein effektives Werkzeug.[4]

Die Grundidee geht auf eine 1946 von Leray veröffentlichte Forschungsankündigung zur kohomologischen Untersuchung einer Garbe zurück. Bereits 1947 hatte Koszul – mit Hilfe eines Hinweises von Cartan – das Spektralsequenz-Kalkül in der heutigen Form abstrahiert, so dass auch Leray in der vollständigen Version seiner Arbeit Koszuls Formalismus verwendete.[5]

Formale Definition

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Definition

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Es sei   eine abelsche Kategorie, beispielsweise die Kategorie der Moduln über einem Ring, und es sei   eine nicht-negative ganze Zahl. Eine kohomologische Spektralsequenz ist eine Sequenz   von Objekten   mit Endomorphismen  , sodass für jedes   gilt:

  1.  ,
  2.   die Homologie von   bezüglich  

Die Isomorphismen werden oft weggelassen und man schreibt   Ein Objekt   wird auch als die r-te Seite oder der r-te Term bezeichnet, ein Endomorphismus   wird Randoperator oder Differential genannt.

Bigraduierte Spektralsequenz

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In der 'Realität' treten Spektralsequenzen meist in der Kategorie der bigraduierten Moduln über einem Ring R auf, das heißt jede Seite ist ein bigraduierter R-Modul   In diesem Fall ist eine kohomologische Spektralsequenz also eine Sequenz   von bigraduierten R-Moduln   und für jeden Modul die direkte Summe von Endomorphismen   vom Bigrad  , sodass für jedes   gilt:

  1.  ,
  2.  .

Die hier verwendete Notation heißt Komplementärgrad. Manche Autoren schreiben stattdessen  , wobei   der totale Grad ist. In der nicht-graduierten Situation ist   irrelevant, im bigraduierten Fall ist   meist null, eins oder zwei.

Homologische Spektralsequenz

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Meist sind die Objekte   Kettenkomplexe, die mit aufsteigender (wie oben) oder absteigender Indizierung auftreten können. Im zweiten Fall erhält man, indem man   durch   und   durch   (Bigrad (-r,r-1)) ersetzt, analog die Definition einer homologische Spektralsequenz.

Spektralsequenz eines Kettenkomplexes

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Das grundlegendste Beispiel (im nicht-graduierten Fall) ist die abelsche Kategorie der Kettenkomplexe. Ein Objekt   hat ein natürliches Differential, den Randoperator  . Für   ist die 0-te Seite   der Komplex selbst. Um das zweite Axiom der Definition zu erfüllen, muss das nächste Objekt die Homologie des Kettenkomplexes sein,  . Da das einzige natürliche Differential auf diesem Komplex die Nullabbildung ist, ist   erneut die Homologie des Komplexes usw., das heißt   für alle   und die Sequenz stabilisiert auf der ersten Seite. Um mehr Informationen aus einer Spektralsequenz zu bekommen, benötigen wir mehr Struktur auf den Objekten.

Visualisierung

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Die Definition der Spektralsequenz ist sehr abstrakt, wir wollen die bigraduierte Situation visualisieren. Man kann sich das Objekt   als die r-te Seite eines karierten Buches vorstellen, an jedem Gitterpunkt   ist ein Objekt   Zwischen einigen Objekten gibt es Verbindungslinien, die Differentiale. Auf die (r+1)-te Seite umzublättern bedeutet, Homologie zu bilden. Das heißt, die (r+1)-te Seite ist ein Subquotient der r-ten Seite. Die Differentiale ändern ihre Richtung bei jedem Umblättern.

 
Vier Seiten einer kohomologischen Sequenz

Die roten Pfeile demonstrieren eine sogenannte Erster-Quadrant-Spektralsequenz, bei der nur die Objekte im ersten Quadranten nicht-null sind. Der Bild- oder der Urbildbereich aller Differentiale wird mit wachsendem r zum Nullobjekt, siehe Beispiel unten.

Eigenschaften

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Kategorische Eigenschaften

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Die kohomologischen Spektralsequenzen bilden eine Kategorie. Ein Morphismus   ist hierbei eine Familie   von Abbildungen  , die mit den Differentialen und den Isomorphismen aus der Definition vertauschen:   und  . Im bigraduierten Fall sollen die Abbildungen außerdem die Graduierung respektieren:  

Multiplikative Struktur

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Die Kohomologiegruppe wird mit dem Cup-Produkt zu einem Ring. Wir wollen daher auch auf der Spektralsequenz eine multiplikative Struktur definieren. Eine Spektralsequenz heißt multiplikativ oder Spektralring, falls gilt: (i) jede Seite ist eine bigraduierte Algebra, wobei die Differentiale Antiderivationen von Grad 1 sind, d. h.   (ii) die Multiplikation auf   ist durch diejenige auf   induziert.

Konvergenz

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Zykel und Ränder

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Es sei eine Spektralsequenz   gegeben. Da sie aus Subquotienten besteht, induziert sie eine Sequenz von Subobjekten   mit  , gegeben durch die folgende induktive Relation: setze  ,   Sind   und   schon definiert, dann seien   and   die eindeutig bestimmten Objekte mit der Eigenschaft, dass   und  . Wir setzen     und definieren den Grenzterm der Spektralsequenz als   (falls er in der betrachteten Kategorie definiert ist).

Konvergenz

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Eine Spektralsequenz konvergiert schwach, falls es ein graduiertes Objekt   gibt mit einer Filtrierung   für jedes  , und für jedes   einen Isomorphismus  ; in Symbolen:

 .

Wir sagen, sie konvergiert gegen  , falls die Filterung   Hausdorff ist, das heißt  . In der Praxis bezieht man sich auf den wichtigsten Term der Sequenz, welcher meist der erste oder der zweite ist, und schreibt   oder  .

Weitere Konvergenzbegriffe

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Im englischsprachigen Raum liest man die Wendung "a spectral sequence abuts", falls für jedes Tupel   ein   existiert, sodass für alle   gilt  . Die Seite   ist wieder der Grenzterm. Die Spektralsequenz ist regulär oder degeneriert bei  , wenn   verschwindet für alle  . Man sagt die Spektralsequenz kollabiert, falls insbesondere ein   existiert, sodass die  -te Seite auf eine Spalte oder eine Zeile konzentriert ist.

Allgemeine Konstruktionsmethoden

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Es gibt viele Methoden, Spektralsequenzen zu konstruieren. Die folgenden sind die drei wichtigsten:

  • Die Spektralsequenz eines exakten Paares[6] (Konstruktion von William Massey);
  • Die Spektralsequenz eines filtrierten Kettenkomplexes;
  • Die Spektralsequenz eines Doppelkomplexes.

Der Doppelkomplex-Zugang ist lediglich ein besonders wichtiger Spezialfall des Filtrierten-Kettenkomplex-Zugangs, und jeder filtrierte Kettenkomplex induziert auf natürliche Weise ein exaktes Paar. Alle bekannten Spektralsequenzen können mithilfe der ersten Methode konstruiert werden.

Exaktes Paar

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Darstellung eines exakten Paares

Wir beginnen wieder mit einer abelschen Kategorie, wie zuvor meist die Kategorie der bigraduierten Moduln über einem Ring. Ein exaktes Paar ist ein Paar von Objekten  , zusammen mit drei Homomorphismen  ,   und  , welche die folgenden Exaktheit-Eigenschaften erfüllen:

  • Bild   = Kern  ,
  • Bild   = Kern  ,
  • Bild   = Kern  .

Man schreibt kurz  .   wird der erste Term   der Spektralsequenz sein. Für die zweite Seite bilden wir das abgeleitete Paar:

  •  
  •  
  •  
  •  
  •   die induzierte Abbildung
  •   ist folgendermaßen definiert: jedes   kann geschrieben werden als   für ein  . Setze   als das Bild von   in  .

Es kann leicht nachgerechnet werden, dass das abgeleitete Paar   wiederum ein exaktes Paar ist[7].

Setze also   und  . Die Sequenz   ist eine Spektralsequenz.

Anwendung

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Filtrierter Kettenkomplex

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Eine weitere wichtige Konstruktion ist die Spektralsequenz für einen filtrierten (Ko-)Kettenkomplex, da ein solcher auf natürliche Weise ein bigraduiertes Objekt induziert. Die Idee ist, die Kohomologie des filtrierten Komplexes mithilfe der Kohomologien der Objekte der Filtrierung zu berechnen.

Sei   ein Kokettenkomplex,   von Grad 1, mit einer absteigenden Filtrierung  , wobei das Differential mit der Filtrierung kompatibel sei, d. h.  , und zudem sei die Filtrierung erschöpfend und Hausdorff. Dann gibt es eine Spektralsequenz mit   und  . Ist die Filtrierung auf   zudem nach oben und unten beschränkt für jedes i, dann gilt   [8][9], d. h. die Spektralsequenz "abuts" (siehe Konvergenzbegriffe) gegen den p-ten graduierten Teil der  ten Kohomologie.

Konstruktion

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Um für die 0-te Seite der Spektralsequenz ein bigraduiertes Objekt zu konstruieren, betrachten wir das assoziierte graduierte Objekt:

  mit  
 
 

wobei   ein natürliches bigraduiertes Differential   auf   induziert[10]. Für die nächste Seite   nehmen wir nun die Homologie von   bezüglich  :

 
 

Die Filtrierung auf dem Kettenkomplex induziert eine Filtrierung auf der Homologie und wir können die assoziierte graduierte Kohomologie definieren:

  mit  

Hat nun die Filtrierung nur Länge 1, dann ist   (also die Homologie des assoziierten graduierten Objektes) isomorph zur assoziierten graduierten Kohomologie  [11]. Im Allgemeinen machen wir dabei aber einen Fehler, da das Differential Elemente in der Filtrierung nach oben schiebt. Wir fahren daher mit der Approximation fort und definieren:

 
 

Beachte, dass auch   und   auf diese Weise geschrieben werden können. Das Differential   auf der r-ten Seite   ist dabei jeweils durch das ursprüngliche Differential   induziert. Es kann nun nachgerechnet werden, dass die entsprechende Homologie isomorph zu   ist[12], das heißt   ist eine Spektralsequenz.

Anwendung

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Doppelkomplex

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Eine weitere Konstruktion ist die Spektralsequenz eines Doppelkomplexes  , bestehend aus einem bigraduierten Objekt   mit zwei Differentialen   und  , also  . Die Differentiale sollen zudem antikommutieren,, d. h.  . Der assoziierte einfache Komplex   ist definiert durch

  mit  

Wir wollen   und   vergleichen, indem wir nun zwei Filtrierungen betrachten:

  und
 .

Dann existieren zwei Spektralsequenzen mit

  und
 

wobei gilt   und  [13].

Beispiele

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Erster-Quadrant-Spektralsequenz

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Betrachten wir eine Spektralsequenz, bei der   verschwindet für alle   kleiner als ein   und für alle   kleiner als ein  . Für   sprechen wir von einer Erster-Quadrant-Spektralsequenz. Bei dieser Sequenz gilt   für alle  , wenn   und   (im Englischen würde man also sagen, 'the spectral sequence abuts', siehe Konvergenzbegriffe). Beachte hierfür, dass entweder das Bild oder das Urbild der Randoperatoren in den genannten Fällen null ist. Die Spektralsequenz muss allerdings nicht degenerieren, da nicht alle Differentiale gleichzeitig null sein müssen. Bildlich gesprochen stabilisiert sich die Spektralsequenz in einem wachsenden Viereck. Ähnlich funktionieren auch die Fälle für  .

Fünfterm exakte Sequenz

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Sei   eine bigraduierte Erster-Quadrant-Spektralsequenz. Dann ist die Sequenz

 

exakt. Sie wird Fünfterm exakte Sequenz genannt.

Leray-Serre-Spektralsequenz

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Sei   eine Serre-Faserung mit einfach zusammenhängendem Basisraum  . Durch Weiterentwicklung von Lerays ursprünglichem Ansatz[14] gewann Serre eine Spektralsequenz  .[15] Serre benutzte seine Spektralsequenz, um die Homologie von Schleifenräumen zu studieren. Die Gysin-Sequenz folgt unmittelbar aus dieser Spektralsequenz.[16]

Grothendieck-Spektralsequenz

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Grothendieck entdeckte eine Spektralsequenz, die die abgeleiteten Funktoren einer Verknüpfung von zwei Funktoren berechnet. Seien   und   zwei linksexakte Funktoren zwischen abelschen Kategorien, wobei   und   genügend viele injektive Objekte haben. Es gelte außerdem: Ist   ein injektives Objekt von  , dann ist   ein  -azyklisches Objekt von  . Dann gibt es eine Spektralfolge   für jedes Objekt   von  .[17][18] Die entsprechende Aussage für linksabgeleitete Funktoren gilt ebenfalls.[18][19]

Lyndon-Hochschild-Serre-Spektralsequenz

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Diese Spektralsequenz in der Gruppenkohomologie wurde von 1953 von Hochschild und Serre entdeckt, nach Vorarbeiten von Lyndon. Sie kann als Anwendungsbeispiel der Grothendieck-Spektralsequenz hergeleitet werden. Sei   eine Gruppe mit Normalteiler  , und sei   ein  -Modul. Dann gibt es eine Spektralfolge  .[20][21]

Atiyah-Hirzebruch-Spektralsequenz

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Sei   eine verallgemeinerte Kohomologietheorie und   ein CW-Komplex. Dann gibt es eine bedingt konvergierende Spektralsequenz  , wobei mit   der topologischer Raum gemeint ist, der aus genau einem Punkt besteht.[22][23] Atiyah und Hirzebruch verwendeten diese Spektralsequenz im Fall der verallgemeinerten Kohomologietheorie K-Theorie.[24] Maunder benutzte Postnikow-Systeme, um eine Alternativkonstruktion der Atiyah-Hirzebruch-Spektralsequenz zu geben, die eine bessere Beschreibung der Differentiale ermöglicht.[25][26]

Weitere wichtige Spektralsequenzen

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Topologie und Geometrie

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Homotopietheorie

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Komplexe und algebraische Geometrie

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Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Klaus Lamotke: Semisimpliziale algebraische Topologie (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Nr. 147). Springer-Verlag, Berlin 1968, ISBN 978-3-662-12989-0, Überschrift des VI. Kapitels, doi:10.1007/978-3-662-12988-3.
  2. Andreas Dress: Zur Spectralseqenz einer Faserung. In: Inventiones Mathematicae. Band 3, Nr. 2, 1967, S. 172–178, doi:10.1007/BF01389743.
  3. Volker Puppe: Über Konvergenz von Spektralfolgen in der stabilen Homotopietheorie. In: manuscripta mathematica. Band 6, Nr. 4, 1972, ISSN 0025-2611, S. 327–358, doi:10.1007/BF01303687.
  4. J. F. Adams: Algebraic Topology. a student's guide (= London Mathematical Society Lecture Note Series. Nr. 4). Cambridge University Press, 1972, ISBN 0-521-08076-2, S. 13: „A spectral sequence is … like an exact sequence, but more complicated. … Like an exact sequence, it does not provide a guarantee that one can carry out any required calculation effectively, but the experts succeed with it more often than not.“
  5. Jean Dieudonné: A history of algebraic and differential topology, 1900–1960 (= Modern Birkhäuser Classics). Nachdruck der 1989 Auflage. Birkhäuser, Boston 2009, ISBN 978-0-8176-4906-7, S. 132–141, doi:10.1007/978-0-8176-4907-4.
  6. Engl.: exact couple; für den deutschen Begriff, siehe S. 75 in Tilman Bauer: Homologische Algebra und Gruppenkohomologie. Vorlesungsskript Wintersemester 2004/05. Universität Münster, 18. Juni 2008, abgerufen am 22. Juni 2016 (überarbeitete Fassung).
  7. Allen Hatcher: Spectral Sequences, Kapitel 5. (cornell.edu [PDF]).
  8. Serge Lang: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Nr. 211). Überarbeitete 3. Auflage. Springer-Verlag, New York 2002, ISBN 0-387-95385-X, S. 821.
  9. Michael Hutchings: Introduction to spectral sequences. 28. April 2011 (berkeley.edu [PDF]).
  10. Michael Hutchings: Introduction to spectral sequences. 28. April 2011 (berkeley.edu [PDF]).
  11. Michael Hutchings: Introduction to spectral sequences. 28. April 2011 (berkeley.edu [PDF]).
  12. Serge Lang: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Nr. 211). Überarbeitete 3. Auflage. Springer-Verlag, New York 2002, ISBN 0-387-95385-X, S. 821.
  13. Allen Hatcher: Algebraic Topology - Spectral Sequences. 2001, Kap. 5.
  14. Saunders Mac Lane: Homology (= Classics in Mathematics). Nachdruck der 1975 Auflage. Springer-Verlag, Berlin 1995, ISBN 3-540-58662-8, S. 322.
  15. Charles A. Weibel: An introduction to homological algebra (= Cambridge studies in advanced mathematics. Nr. 38). Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-43500-5, S. 128.
  16. John McCleary: A User's Guide to Spectral Sequences (= Cambridge studies in advanced mathematics. Nr. 58). 2. Auflage. Cambridge University Press, 2001, ISBN 0-521-56759-9, Kap. 5–6.
  17. Serge Lang: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Nr. 211). Überarbeitete 3. Auflage. Springer-Verlag, New York 2002, ISBN 0-387-95385-X, S. 821.
  18. a b Charles A. Weibel: An introduction to homological algebra (= Cambridge studies in advanced mathematics. Nr. 38). Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-43500-5, S. 150–151.
  19. Tilman Bauer: Homologische Algebra und Gruppenkohomologie. Vorlesungsskript Wintersemester 2004/05. Universität Münster, 18. Juni 2008, S. 83, abgerufen am 12. Juli 2016 (überarbeitete Fassung).
  20. Charles A. Weibel: An introduction to homological algebra (= Cambridge studies in advanced mathematics. Nr. 38). Cambridge University Press, 1994, ISBN 0-521-43500-5, S. 195.
  21. Tilman Bauer: Homologische Algebra und Gruppenkohomologie. Vorlesungsskript Wintersemester 2004/05. Universität Münster, 18. Juni 2008, S. 88, abgerufen am 12. Juli 2016 (überarbeitete Fassung).
  22. John McCleary: A User's Guide to Spectral Sequences (= Cambridge studies in advanced mathematics. Nr. 58). 2. Auflage. Cambridge University Press, 2001, ISBN 0-521-56759-9, S. 496.
  23. George W. Whitehead: Elements of Homotopy Theory (= Graduate Texts in Mathematics. Nr. 61). Springer-Verlag, New York 1978, ISBN 0-387-90336-4, Abschnitt XIII.6.
  24. M. F. Atiyah, F. Hirzebruch: Vector bundles and homogeneous spaces. In: Carl B. Allendoerfer (Hrsg.): Differential Geometry (= Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. Nr. 3). American Mathematical Society, 1961, LCCN 62-005289, S. 7–38.
  25. C. R. F. Maunder: The spectral sequence of an extraordinary cohomology theory. In: Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. Band 59, Nr. 3, Juli 1963, ISSN 0305-0041, S. 567–574.
  26. Daniel Grady, Hisham Sati: Spectral sequences in smooth generalized cohomology. 11. Mai 2016, arxiv:1605.03444v1.
  27. John McCleary: A User's Guide to Spectral Sequences (= Cambridge studies in advanced mathematics. Nr. 58). 2. Auflage. Cambridge University Press, 2001, ISBN 0-521-56759-9, Kap. 7–8.
  28. John McCleary: A User's Guide to Spectral Sequences (= Cambridge studies in advanced mathematics. Nr. 58). 2. Auflage. Cambridge University Press, 2001, ISBN 0-521-56759-9, Kap. 9.