Universeller Koeffizientensatz

Theorem der Topologie

Das universelle Koeffiziententheorem ist eine Aussage eher technischen Charakters aus dem mathematischen Teilgebiet der algebraischen Topologie. Es erlaubt, die Homologie bzw. Kohomologie eines Raumes mit Koeffizienten in einer beliebigen abelschen Gruppe aus der Homologie bzw. Kohomologie mit Koeffizienten in den ganzen Zahlen auszurechnen.

Homologische Fassung

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Es seien   ein topologischer Raum,   eine abelsche Gruppe und   eine natürliche Zahl. Dann gibt es eine natürliche kurze exakte Folge

 

Dabei steht   abkürzend für  , und Tor ist das Torsionsprodukt.

Die Folge spaltet, aber nicht natürlich.

Kohomologische Fassung

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Es seien   ein topologischer Raum,   eine abelsche Gruppe und   eine natürliche Zahl. Dann gibt es eine natürliche kurze exakte Folge

 

Dabei steht wieder   abkürzend für  , und Ext ist der abgeleitete Funktor Ext. Der Homomorphismus   wird durch die Kronecker-Paarung definiert.

Im Unterschied zur homologischen Fassung ist diese Aussage selbst für   nicht trivial.

Wie oben spaltet die Folge, aber nicht natürlich.

Anwendungsbeispiele

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  • Zusammen mit der Aussage   folgt
 
  • Die reelle projektive Ebene   hat die 2-Sphäre als zweiblättrige, universelle Überlagerung, also gilt  , somit besitzt   eine zu
 
isomorphe Untergruppe.

Verallgemeinerungen

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  • J. P. May, A Concise Course in Algebraic Topology. University of Chicago Press, Chicago 1999. ISBN 0-226-51183-9, Kapitel 17.