Homologie mit Koeffizienten

In der Mathematik ist Homologie mit Koeffizienten in einer abelschen Gruppe eine Verallgemeinerung der klassischen Homologietheorien.

Definition

Sei

$0\leftarrow K_{0}\leftarrow K_{1}\leftarrow K_{2}\leftarrow K_{3}\leftarrow \ldots$

ein Kettenkomplex und $G$ eine abelsche Gruppe. Als Homologie mit Koeffizienten in $G$ bezeichnet man die Homologie des Kettenkomplexes

$0\leftarrow K_{0}\otimes _{\mathbb {Z} }G\leftarrow K_{1}\otimes _{\mathbb {Z} }G\leftarrow K_{2}\otimes _{\mathbb {Z} }G\leftarrow K_{3}\otimes _{\mathbb {Z} }G\ldots$.

Für $G=\mathbb {Z}$ erhält man die Homologie des Kettenkomplexes.

Für einen topologischen Raum $X$ bezeichnet man mit $H_{*}(X,G)$ die Homologie des singulären Kettenkomplexes mit Koeffizienten in $G$. Für $G=\mathbb {Z}$ erhält man die singuläre Homologie.

Für einen Simplizialkomplex $S$ bezeichnet man mit $H_{*}(S,G)$ die Homologie des simplizialen Kettenkomplexes mit Koeffizienten in $G$. Für $G=\mathbb {Z}$ erhält man die simpliziale Homologie.

Beispiel

Sei $X=\mathbb {R} P^{n}$ der projektive Raum und $G=F$ ein Körper.

Wenn die Charakteristik von $F$ gleich $2$ ist, dann ist $H_{k}(\mathbb {R} P^{n},F)=F$ für alle $k$ mit $0\leq k\leq n$.

Wenn $char(F)\not =2$, dann ist $H_{0}(\mathbb {R} P^{n},F)=F$ und für ungerade $n$ auch $H_{n}(\mathbb {R} P^{n},F)=F$, aber $H_{k}(\mathbb {R} P^{n},F)=0$ für alle anderen Werte von $k$.

Berechnung

Die Homologie mit Koeffizienten kann aus der klassischen Homologie mit Hilfe des universellen Koeffizientensatzes

$0\to H_{n}(X)\otimes G\to H_{n}(X;G)\to \operatorname {Tor} _{1}^{\mathbb {Z} }(H_{n-1}(X),G)\to 0$

berechnet werden.