Rangsatz

mathematischer Satz

Der Rangsatz oder Dimensionssatz ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Er zeigt einen Zusammenhang zwischen den Dimensionen der Definitionsmenge, des Kerns und des Bildes einer linearen Abbildung zwischen zwei Vektorräumen auf.

SatzBearbeiten

Ist   eine lineare Abbildung von einem Vektorraum   in einen Vektorraum  , dann gilt für die Dimensionen der Definitionsmenge  , des Kerns   und des Bildes   der Abbildung   die Gleichung

 .

Verwendet man die Bezeichnungen Defekt   für die Dimension des Kerns und Rang   für die Dimension des Bildes der Abbildung  , so lautet der Rangsatz:

 .

BeweiseBearbeiten

Beweis über den HomomorphiesatzBearbeiten

Der Satz folgt unmittelbar aus dem Homomorphiesatz

 .

Da der Faktorraum   isomorph zu einem Komplementärraum   von   in   ist, gilt

 .

Nachdem nun

 

ist folgt aus der Äquivalenz von Isomorphie und Gleichheit der Dimension

 .

Beweis durch BasisergänzungBearbeiten

Ist eine Menge   eine Basis von  , die durch eine Menge   mit   zu einer Basis   von   ergänzt wird (  ist dann eine Basis eines Komplementärraums von  ), dann ist

 

eine Basis des Bildes  . Betrachtet man nun die Einschränkung   von   auf die lineare Hülle  , dann ist   injektiv und

 .

Somit ist   ein Isomorphismus zwischen   und dem Bild von  . Daher gilt

 .

Der Homomorphiesatz folgt ebenfalls – durch Übergang vom Komplementärraum zum Faktorraum.

UmkehrungBearbeiten

Der Satz gilt für Vektorräume beliebiger (auch unendlicher) Dimension. Im endlichdimensionalen Fall lässt sich die Dimension des Bildraums aus der Dimension des Kerns als

 

berechnen. Entsprechend umgekehrt gilt dann auch

 .

Im unendlichdimensionalen Fall lässt sich mittels des Rangsatzes die Dimension des Bildraums nicht aus der Dimension des Kerns (oder umgekehrt) berechnen, wenn der Kern dieselbe Dimension wie der gesamte Raum besitzt. Andernfalls ist die Dimension des Bildraums   gleich der Dimension von  .

VerallgemeinerungBearbeiten

Eine weitreichende Verallgemeinerung des Rangsatzes ist die Aussage, dass die alternierende Summe der Dimensionen der einzelnen Komponenten eines Kettenkomplexes gleich der alternierenden Summe der Dimensionen seiner Homologiegruppen ist. Siehe dazu die Euler-Charakteristik eines Kettenkomplexes.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten