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Der Defekt ist innerhalb der Mathematik ein Begriff aus dem Teilgebiet der linearen Algebra. Man ordnet ihn einer linearen Abbildung oder einer Matrix zu.

Definition für lineare AbbildungenBearbeiten

Seien   und   zwei endlichdimensionale Vektorräume, die Dimension von   sei  , die Dimension von   sei  . Sei weiter   eine lineare Abbildung. Dann ist der Defekt dieser Abbildung als die Dimension des Kerns der Abbildung definiert, kurz

 .[1]

Defekt bei MatrizenBearbeiten

Eine Matrix   mit Elementen aus einem Körper   kann als lineare Abbildung   interpretiert werden. In diesem Sinne wird der Defekt der Matrix   durch

 

definiert. Der Defekt von   ist also gleich der Dimension des Lösungsraums des homogenen linearen Gleichungssystems  .

Ist   die Nullmatrix, so ist   gleich der Spaltenzahl von  . Andernfalls ist   gleich der maximalen Anzahl von Spalten, die man so aus   streichen kann, dass die verkleinerte Matrix das gleiche Bild wie   hat. Die gestrichenen Spalten sind dann von den in der verkleinerten Matrix verbleibenden Spalten linear abhängig.

BerechnungBearbeiten

Vor allem für die Handrechnung bei kleinen Matrizen eignet sich das gaußsche Eliminationsverfahren mit Zeilen- und Spaltentausch zur Bestimmung des Defektes. Jede Matrix   lässt sich mit diesem Verfahren in eine äquivalente Matrix   mit   für   umformen, bei der mit einem   die Diagonalelemente der ersten   Zeilen mit Nichtnullelementen besetzt sind und die übrigen Zeilen Nullzeilen sind (  ist der Rang der Matrix  ). Der Defekt dieser Matrix ist dann   (das ist die Aussage des Rangsatzes).

Sei vorausgesetzt, dass   nicht die Nullmatrix ist. Streicht man aus   diejenigen Spalten, die den Spalten   in der Matrix   entsprechen (hierbei sind während des gaußschen Eliminationsverfahrens erfolgte Spaltenvertauschungen zu berücksichtigen), so hat die verkleinerte Matrix das gleiche Bild wie  . Beim Streichen weiterer Spalten (falls das möglich ist) verkleinert sich das Bild der Matrix.

Bei quadratischen Matrizen (also für  ) ist der Defekt von   gleich der Anzahl der Nullzeilen in  .

Numerisch stabiler, jedoch auch aufwendiger als das gaußsche Eliminationsverfahren ist die Bestimmung des Defektes einer Matrix mittels Singulärwertzerlegung.

BeispieleBearbeiten

 
 

Ein Spaltentausch war nicht notwendig, also hat die Matrix

 

die aus   durch Streichen der letzten Spalte entsteht, dasselbe Bild wie  .

 

Spaltentausch war wiederum nicht notwendig, also hat diese Matrix das gleiche Bild wie  

 

RangsatzBearbeiten

Hauptartikel: Rangsatz

Der Rangsatz zeigt einen Zusammenhang zwischen dem Defekt und dem Rang   einer linearen Abbildung  .

 

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Michael Artin: Algebra. Birkhäuser, Basel u. a. 1998, ISBN 3-7643-5938-2, S. 123 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).