Atiyah-Bott-Fixpunktsatz

mathematischer Satz für glatte Mannigfaltigkeiten

Der Atiyah-Bott-Fixpunktsatz wurde 1966 von Michael Atiyah und Raoul Bott bewiesen und verallgemeinert den Fixpunktsatz von Lefschetz für glatte Mannigfaltigkeiten.

VorbemerkungenBearbeiten

Sei   eine glatte, geschlossene Mannigfaltigkeit, dann ist die Lefschetz-Zahl

 

einer stetigen Selbstabbildung   definiert. Mit   wird die durch   induzierte Abbildung   bezeichnet. Die Lefschetz-Zahl ist wohldefiniert, denn die singulären Homologien   einer glatten, kompakten Mannigfaltigkeit sind als Vektorräume endlichdimensional. Der Atiyah-Bott-Fixpunktsatz verallgemeinert diese Aussage nun auf eine Klasse von Kohomologien und gibt eine Formel zur Berechnung der Lefschetz-Zahl.

Sei   ein elliptischer Komplex. Das heißt,   ist eine Folge glatter Vektorbündel und   eine Folge (geometrischer) Differentialoperatoren, so dass

  1.   gilt und
  2. die Sequenz   exakt ist. Dabei bezeichnet   das Vektorbündel über dem Kotangentialbündel   das durch   induziert wird, und   das Hauptsymbol von  

Aufgrund der ersten Eigenschaft kann man aus jedem elliptischen Komplex eine Kohomologie   gewinnen und aufgrund der zweiten Eigenschaft sind die Kohomologien endlichdimensional. Sei   ein Kettenendomorphismus. Dieser induziert einen Endomorphismus von Kohomologien   In Analogie zur Lefschetz-Zahl definiert man

 

Sei   eine differenzierbare Funktion, deren Graph zur Diagonalen in   transversal ist. Die Fixpunkte von   sind gerade die Schnittpunkte des Graphen mit der Diagonalen. Aus der Transversalität folgt für alle Fixpunkte   dass   gilt, wobei   die Ableitung von   am Punkt   ist. Ein Lift   von   über einem elliptischen Komplex ist eine Folge   von Bündelhomomorphismen, so dass für   mit

 

die Identität   gilt. Insbesondere ist dann   ein Endomorphismus von Schnitten in dem elliptischen Komplex  .

Atiyah-Bott-FixpunktformelBearbeiten

Sei   eine glatte, geschlossene Mannigfaltigkeit und   eine differenzierbare Abbildung, so dass ihr Graph transversal zur Diagonalen von   ist. Sei außerdem   ein elliptischer Komplex,   ein Lift von   und   der durch   definierte Endomorphismus. Dann ist die Lefschetz-Zahl   durch

 

bestimmt, wobei   die Spur von   an einem Fixpunkt   von   meint und   die Ableitung von   in   ist.

Eine Anwendung des Atiyah-Bott-Fixpunktsatzes ist ein einfacher Beweis der Weylschen Charakterformel für die Darstellung von Liegruppen.

SpezialfallBearbeiten

Sei   der De-Rham-Komplex, hierbei ist   die Algebra der Differentialformen und   die Cartan-Ableitung. Dies ist ein elliptischer Komplex, daher kann man die Fixpunktformel auf diesen Komplex anwenden. Sei   wieder eine differenzierbare Abbildung, so dass ihr Graph transversal zur Diagonalen von   ist und   der entsprechende Lift. Dann gilt für den Index

 

Da   differenzierbar ist und nur isolierte Fixpunkte hat entspricht dies der Fixpunktformel von Lefschetz.

GeschichteBearbeiten

Die frühe Geschichte ist mit dem Atiyah-Singer-Indexsatz verbunden. Im engeren Sinn entstanden die ersten Ideen auf einer Konferenz 1964 in Woods Hole, Massachusetts (deshalb auch Woods Hole Fixpunktsatz genannt). Anscheinend stammt der ursprüngliche Anlass aus einer Bemerkung von Martin Eichler über den Zusammenhang von Fixpunktsätzen und automorphen Formen, was Gorō Shimura auf der Konferenz Raoul Bott erläuterte. Er vermutete die Existenz eines Lefschetz-Fixpunktsatzes für holomorphe Abbildungen.

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten