Fredholm-Operator

In der Funktionalanalysis, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Klasse der Fredholm-Operatoren (nach E. I. Fredholm) eine bestimmte Klasse linearer Operatoren, die man „fast“ invertieren kann. Jedem Fredholm-Operator ordnet man eine ganze Zahl zu, diese wird Fredholm-Index, analytischer Index oder kurz Index genannt.

DefinitionBearbeiten

Ein beschränkter linearer Operator   zwischen zwei Banachräumen   und   heißt Fredholm-Operator, oder man sagt kurz: "  ist Fredholm", wenn

  •   endliche Dimension hat und
  •   endliche Kodimension in   hat.

Dabei ist   der Kern von  , also die Menge   und   ist das Bild von  , also die Teilmenge  .

Die Zahl

 

heißt Fredholm-Index von  .

EigenschaftenBearbeiten

Bild ist abgeschlossener UnterraumBearbeiten

Das Bild   eines Fredholm-Operators ist ein abgeschlossener Unterraum.

StrukturBearbeiten

Ist   ein Fredholm-Operator, dann hat der endlich-dimensionale Unterraum   einen abgeschlossenen Komplementärraum   in  , d. h., es gilt  . Die Einschränkung   von   ist dann offenbar ein bijektiver Operator, dessen Inverse nach dem Satz vom stetigen Inversen ebenfalls beschränkt ist. Der Operator   ist also "bis auf endlich viele Dimensionen" stetig invertierbar. Viele der folgenden Eigenschaften lassen sich damit beweisen.

KompositionBearbeiten

Die Komposition   zweier Fredholm-Operatoren   und   ist wieder ein Fredholm-Operator und für den Index gilt[1]

 .

Dualer OperatorBearbeiten

Sei   der zum Fredholm-Operator   duale Operator. Dann gilt   und  . Daher ist auch   ein Fredholm-Operator und für seinen Index gilt  .[2]

Satz von AtkinsonBearbeiten

Nach dem Satz von Atkinson ist ein Operator   genau dann ein Fredholm-Operator, wenn es Operatoren   und kompakte Operatoren   gibt, so dass   und   gilt, das heißt wenn   modulo kompakter Operatoren invertierbar ist. Insbesondere ist ein beschränkter Operator   genau dann ein Fredholm-Operator, wenn seine Klasse   in der Calkin-Algebra   invertierbar ist.

Kompakte StörungBearbeiten

Für jeden Fredholm-Operator   und jeden kompakten Operator   ist   ebenfalls ein Fredholm-Operator mit gleichem Fredholm-Index wie  . Daher sagt man, dass der Index eines Fredholm-Operators invariant unter kompakten Störungen ist. Insbesondere ist jede kompakte Störung der Identität, also jeder Operator der Form   für einen kompakten Operator   ein Fredholm-Operator vom Index 0.

Eigenschaften des Fredholm-IndexBearbeiten

Die Menge   der Fredholm-Operatoren zwischen den Banachräumen   und   ist offen in der Menge der beschränkten Operatoren  . Auf jeder Zusammenhangskomponente   von   ist der Index konstant:   für alle  . Tatsächlich ist die Abbildung   bijektiv. Daraus ergeben sich sofort die folgenden Eigenschaften des Index:

  • Die Indexabbildung   ist stetig.
  • Der Index ist invariant unter kleinen Störungen, das heißt, zu   gibt es  , so dass für alle   mit   gilt:  .
  • Der Index ist eine homotopie-invariante Zahl.[3]: Ist   stetig, dann haben   und   den gleichen Index.

Surjektivität des Fredholm-IndexBearbeiten

Der Fredholm-Index, als Abbildung von der Menge der Fredholm-Operatoren in die Menge der ganzen Zahlen, ist surjektiv.[4]

Punctured Neighbourhood TheoremBearbeiten

Ist   ein Fredholm-Operator, dann gibt es nach dem Punctured Neighbourhood Theorem ein  , so dass für alle   mit  

  1.   und
  2.  

gilt.[5] Insbesondere ist   also ein Fredholm-Operator. Da der Fredholm-Index stetig ist, folgt daraus  . Bewiesen wurde das Punctured Neighbourhood Theorem von Israel Gohberg.[6]

Elliptische OperatorenBearbeiten

Jeder gleichmäßig elliptische Differentialoperator ist ein Fredholm-Operator.

Sei   und   ein Gebiet mit Lipschitz-Rand. Dann ist der schwache elliptische Differentialoperator mit homogenen Neumann-Randbedingungen   definiert durch

 

für   ein Fredholm-Operator.

BeispieleBearbeiten

ShiftoperatorBearbeiten

IntegraloperatorBearbeiten

Ein klassisches Beispiel eines Fredholm-Operators ist der Operator

 ,

wobei   der Identitätsoperator und   ein kompakter Operator ist. Auf dem Banachraum der stetigen Funktionen   beziehungsweise auf dem der quadratintegrierbaren Funktionen   ist der Operator   von der Form

 ,

wobei der Integralkern   eine stetige beziehungsweise quadratintegrierbare Funktion ist. Dieser Fredholm-Operator hat den Index 0. In der Fredholm-Theorie werden Gleichungen des Typs   untersucht. Die Fredholm-Alternative als ein zentrales Resultat der Fredholm-Theorie gibt eine Antwort, unter welchen Bedingungen Gleichungen diesen Typs lösbar sind.

Laplace-OperatorBearbeiten

Der Laplace-Operator

 

definiert auf dem Sobolev-Raum   der zweimal schwach differenzierbaren quadratische integrierbaren Funktionen ist ein stetiger elliptischer Operator. Daher ist er auch ein Fredholm-Operator. Da er auch selbstadjungiert ist, hat er den Fredholm-Index 0.

Betrachtet man den Laplace-Operator im distributionellen Sinn auf  , ist er kein stetiger Operator und somit kein Fredholm-Operator bezüglich der obigen Definition. Im Sinne von unbeschränkten Operatoren, wie dies später im Artikel noch erklärt wird, ist er allerdings weiterhin ein Fredholm-Operator.

Elliptischer Operator auf einer MannigfaltigkeitBearbeiten

Der Kreis (als   gedacht) kann als eindimensionale geschlossene Mannigfaltigkeit verstanden werden. Ein stetiger elliptischer Differentialoperator erster Ordnung auf den glatten Funktionen vom Kreis in die komplexen Zahlen ist durch

 

für eine komplexe Konstante   gegeben. Der Kern von   ist der von den Termen der Form   aufgespannte Raum, falls  , und 0 in den anderen Fällen. Der Kern des adjungierten Operators ist ein ähnlicher Raum, nur wird   durch sein komplex-konjugiertes ersetzt. Der Fredholm-Operator   hat damit den Index 0. Dieses Beispiel zeigt, dass Kern und Kokern eines elliptischen Operators unstetig springen können, falls man den elliptischen Operator so variiert, dass die oben erwähnten Terme erfasst werden. Da die Sprünge in den Dimensionen von Kern und Kokern aber gleich sind, ändert sich ihre Differenz, der Index, stetig.

Unbeschränkte Fredholm-OperatorenBearbeiten

Bisher wurden in diesem Artikel Fredholm-Operatoren nur als spezielle beschränkte Operatoren betrachtet. Beispielsweise in der Indextheorie elliptischer Operatoren über nicht kompakten Räumen ist es jedoch sinnvoll die Definition des Fredholm-Operators auf unbeschränkte Operatoren zu erweitern. Die Definition ist bis auf die geforderte Abgeschlossenheit des Operators identisch mit der im beschränkten Fall:

Seien   und   zwei Banachräume und   ein Unterraum von  . Ein (unbeschränkter) Operator   wird Fredholm-Operator genannt, falls

  •   abgeschlossen ist,
  • die Dimension des Kerns   endlich ist,
  • die Kodimension von   in   endlich ist.

Manche Autoren verlangen zusätzlich, dass der Definitionsbereich   dicht liegt in  , was aber offensichtlich völlig unabhängig von der eigentlichen Fredholm-Eigenschaft ist. Der Fredholm-Index ist wie im Fall beschränkter Operatoren durch

 

definiert.

Versieht man den Definitionsbereich   eines abgeschlossenen Operators   mit der sogenannten Graphennorm  , so ist   ein Banachraum und  , betrachtet als Operator von   nach  , ein beschränkter Operator. Folglich kann ein unbeschränkter Fredholm-Operator stets auf einen beschränkten Fredholm-Operator zurückgeführt werden. Dementsprechend gelten viele Eigenschaften von oben auch für unbeschränkte Fredholm-Operatoren. So ist die Verkettung unbeschränkter Fredholm-Operatoren wieder ein Fredholm-Operator, für den obige Indexformel gilt; der Satz von Atkinson gilt ebenfalls, und der Fredholm-Index unbeschränkter Fredholm-Operatoren ist auch invariant unter kompakten Störungen und lokal konstant (das Wort "lokal" bezieht sich hierbei auf die so genannte Gap-Metrik). Schließlich gilt auch das Punctured Neighborhood Theorem für unbeschränkte Fredholm-Operatoren. Eine Verbindung zur Calkin-Algebra besteht für unbeschränkte Fredholm-Operatoren allerdings nicht.[7]

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Vladimir Müller: Spectral Theory of Linear Operators: and Spectral Systems in Banach Algebras. Birkhäuser, Basel 2007, ISBN 978-3-7643-8265-0, S. 159.
  2. Vladimir Müller: Spectral Theory of Linear Operators: and Spectral Systems in Banach Algebras. Birkhäuser, Basel 2007, ISBN 978-3-7643-8265-0, S. 156.
  3. Masoud Khalkhali: Basic Noncommutative Geometry. 2. Auflage. EMS, 2013, ISBN 978-3-03719-128-6, S. 201.
  4. Jürgen Appell, Martin Väth: Elemente der Funktionalanalysis. Springer/Vieweg, 2005, ISBN 3-322-80243-4, S. 164–165.
  5. Vladimir Müller: Spectral Theory of Linear Operators: and Spectral Systems in Banach Algebras. Birkhäuser, Basel 2007, ISBN 978-3-7643-8265-0, S. 171, 293–294.
  6. Vladimir Müller: Spectral Theory of Linear Operators: and Spectral Systems in Banach Algebras. Birkhäuser, Basel 2007, ISBN 978-3-7643-8265-0, S. 231.
  7. Martin Schechter: Fredholm Operators and the Essential Spectrum. (online)