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Die auf beschränkte Vorzeichenfunktion ist lokal konstant

In der Mathematik heißt eine Funktion von einem topologischen Raum in eine Menge lokal konstant, wenn für jedes eine Umgebung von existiert, auf der konstant ist.

EigenschaftenBearbeiten

  • Jede konstante Funktion ist auch lokal konstant.
  • Jede lokal konstante Funktion von   in eine beliebige Menge   ist konstant, da   zusammenhängend ist und nicht durch mindestens zwei disjunkte offene Mengen zu überdecken ist.
  • Jede lokal konstante holomorphe Funktion   von einer offenen Menge   in die komplexen Zahlen ist konstant, wenn   ein Gebiet ist, also zusammenhängend ist.
  • Allgemein ist jede lokal konstante Funktion konstant auf jeder Zusammenhangskomponente, für lokal zusammenhängende Räume gilt auch die Umkehrung.
  • Eine Abbildung   von einem topologischen Raum   in einen diskreten Raum   ist genau dann stetig, wenn sie lokal konstant ist.
  • Jede Abbildung   von einem diskreten Raum   in einen beliebigen topologischen Raum   ist lokal konstant.
  • Die Menge der lokal konstanten Funktionen auf einem Raum bilden auf natürliche Weise eine Garbe kommutativer Ringe.

BeispieleBearbeiten

  • Die Funktion  , definiert durch   für   und   für   ist lokal konstant. (Hierbei geht ein, dass   irrational ist, da so   und   offene Mengen sind, die   überdecken.)
  • Die Funktion  , definiert durch   für   und   für  , ist ebenso lokal konstant.
  • Die Vorzeichenfunktion ist nicht lokal konstant.
  • Treppenfunktionen sind nicht lokal, sondern stückweise konstant