Hauptmenü öffnen

Eine -Multilinearform ist in der Mathematik eine Funktion, die Argumenten aus -Vektorräumen einen Wert zuordnet und in jeder Komponente linear ist. Im allgemeineren Fall, dass der Bildraum selbst ein Vektorraum ist, oder Bild- und Zielräume Moduln sind, spricht man von einer multilinearen Abbildung.

DefinitionBearbeiten

Eine Abbildung

 

heißt Multilinearform, wenn für alle   und alle   folgende zwei Bedingungen erfüllt sind:

Für alle   gilt

 

und für alle  

 .

Die Menge aller multilinearen Abbildungen   bildet einen  -Vektorraum. Im Fall   schreibt man  .

Alternierende MultilinearformenBearbeiten

Eine Multilinearform   heißt alternierend, falls sie null ergibt, wenn zweimal derselbe Vektor eingesetzt wird, d. h.

 

für alle  .[1]

In diesem Fall folgt auch, dass die Form schiefsymmetrisch ist, das heißt, dass sie bei Vertauschung von zwei beliebigen Argumenten ihr Vorzeichen wechselt, also

 

für alle   und  . Die umgekehrte Implikation – dass alle schiefsymmetrischen Multilinearformen alternierend sind – gilt aber nur, wenn die Charakteristik von   nicht 2 ist, also zum Beispiel für  .[1]

Ist allgemeiner   eine beliebige Permutation der Indizes, dann gilt

 ,

wobei   das Signum der Permutation bezeichnet.

Die Menge aller alternierenden Multilinearformen   ist ein Untervektorraum von  . Außerdem lässt sich auf dieser Menge die Struktur einer Algebra definieren. Diese Algebra heißt Graßmann-Algebra. Wichtig ist der Spezialfall  . Dann ist   ein eindimensionaler Unterraum von  , und seine Elemente heißen Determinantenfunktionen.

BeispieleBearbeiten

  1. Linearformen sind genau die 1-Multilinearformen.
  2. Bilinearformen sind genau die 2-Multilinearformen. Antisymmetrische Bilinearformen sind alternierende Multilinearformen (wenn die Charakteristik von   nicht 2 ist).
  3. Bildet man aus   Vektoren durch Zusammenfassen eine quadratische Matrix, so ist die Determinante dieser Matrix eine alternierende, normierte Multilinearform. Im dreidimensionalen Fall ist also   definiert durch
     
    eine alternierende 3-Multilinearform. Dabei sind die Vektoren   folgendermaßen in Koordinaten dargestellt:
     .
  4. Kovariante Tensoren sind Multilinearformen: In dem Fall, dass alle Vektorräume   identisch sind (also  ), ist die  -Multilinearform auch ein kovarianter Tensor  -ter Stufe. Im selben Fall sind die alternierenden  -Multilinearformen auch total antisymmetrische Tensoren  -ter Stufe.
  5. Eine Differentialform ordnet einem Punkt einer Mannigfaltigkeit eine alternierende Multilinearform auf dem zugehörigen Tangentialraum zu.

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. a b Arkady L'vovich Onishchik: Multilinear mapping. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8 (online).