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Eine Determinantenfunktion oder Determinantenform ist in der linearen Algebra eine spezielle Funktion, die einer Folge von Vektoren eines -dimensionalen Vektorraums eine Zahl zuordnet.

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DefinitionBearbeiten

Sei   ein  -dimensionaler Vektorraum über einem Körper  . Dann heißt eine Funktion   Determinantenfunktion, wenn sie folgende Bedingungen erfüllt:

  •   ist multilinear, d. h. linear in jeder Variablen:
  (Additivität)
  (Homogenität)
  •   ist alternierend:
 

EigenschaftenBearbeiten

  • Eine Determinantenfunktion ist schiefsymmetrisch, allgemeiner gilt für eine Permutation  :  , wobei   das Signum der Permutation bezeichnet.
  • Sind   linear abhängig, so gilt  . Für eine nicht-triviale Determinantenfunktion (d. h.  ) gilt auch die Umkehrung dieser Aussage.
  • Sind   zwei Determinantenfunktionen und  , dann gibt es ein   so, dass  . Das bedeutet, dass es bis auf eine Normierungskonstante nur eine nicht-triviale Determinantenfunktion gibt, alle anderen Determinatenfunktionen lassen sich durch Multiplikation mit einer Konstanten gewinnen. Tatsächlich existiert auf jedem Vektorraum eine nicht-triviale Determinantenfunktion.

BeispieleBearbeiten

  • Die Nullfunktion ist die sog. triviale Determinantenfunktion.
  •  , mit der üblichen Determinante als Determinantenfunktion.
  • Aus dem vorangehenden Beispiel durch Multiplikation der Determinante mit einer Konstante gewonnene Determinantenfunktionen.

LiteraturBearbeiten