Determinantenfunktion

Eine Determinantenfunktion oder Determinantenform ist in der linearen Algebra eine spezielle Funktion, die einer Folge von $n$ Vektoren eines $n$-dimensionalen Vektorraums eine Zahl zuordnet.

Definition

Sei $V$ ein $n$-dimensionaler Vektorraum über einem Körper $K$. Dann heißt eine Funktion $f\colon V^{n}\rightarrow K$ Determinantenfunktion, wenn sie folgende Bedingungen erfüllt:

• $f$ ist multilinear, d. h. linear in jeder Variablen:

$\forall \,i\in \left\{1,\ldots ,n\right\},\;\forall \,a,b\in V\colon f\left(v_{1},\ldots ,v_{i-1},a+b,v_{i+1},\ldots ,v_{n}\right)=f\left(v_{1},\ldots ,v_{i-1},a,v_{i+1},\ldots ,v_{n}\right)+f\left(v_{1},\ldots ,v_{i-1},b,v_{i+1},\ldots ,v_{n}\right)$ (Additivität)

$\forall \,i\in \left\{1,\ldots ,n\right\},\;\forall \,a\in V,\;\forall \,r\in K\colon f\left(v_{1},\ldots ,v_{i-1},r\cdot a,v_{i+1},\dots ,v_{n}\right)=r\cdot f\left(v_{1},\ldots ,v_{i-1},a,v_{i+1},\ldots ,v_{n}\right)$ (Homogenität)

• $f$ ist alternierend:

$\left(\exists \,r,s\in \left\{1,\ldots ,n\right\},r\neq s\colon v_{r}=v_{s}\right)\Rightarrow f\left(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}\right)=0$

Eigenschaften

• Eine Determinantenfunktion ist schiefsymmetrisch, allgemeiner gilt für eine Permutation $\sigma$: $f\left(v_{\sigma (1)},v_{\sigma (2)},\dots ,v_{\sigma (n)}\right)=\mathrm {sgn} (\sigma )\cdot f\left(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}\right)$, wobei $\mathrm {sgn}$ das Signum der Permutation bezeichnet.

• Sind $v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}\in V$ linear abhängig, so gilt $f(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})=0$. Für eine nicht-triviale Determinantenfunktion (d. h. $f\not \equiv 0$) gilt auch die Umkehrung dieser Aussage.

• Sind $f,g:V^{n}\rightarrow K$ zwei Determinantenfunktionen und $f\not \equiv 0$, dann gibt es ein $a\in K$ so, dass $g(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})=a\cdot f(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})\;\forall \,v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}\in V$. Das bedeutet, dass es bis auf eine Normierungskonstante nur eine nicht-triviale Determinantenfunktion gibt, alle anderen Determinantenfunktionen lassen sich durch Multiplikation mit einer Konstanten gewinnen. Tatsächlich existiert auf jedem Vektorraum eine nicht-triviale Determinantenfunktion.

Beispiele

• Die Nullfunktion ist die sog. triviale Determinantenfunktion.
• $V=\mathbb {R} ^{n}$, mit der üblichen Determinante als Determinantenfunktion.
• Aus dem vorangehenden Beispiel durch Multiplikation der Determinante mit einer Konstante gewonnene Determinantenfunktionen.

Literatur

• H. Zieschang: Lineare Algebra und Geometrie. B.G. Teubner, Stuttgart 1997. ISBN 3-519-02230-3
• S. Bosch: Lineare Algebra. Springer-Verlag, Münster 2008. ISBN 3-540-76437-2