Multilineare Abbildung

Abbildung, die für jedes ihrer Argumente linear ist

Im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra und verwandter Gebiete wird durch die multilineare Abbildung der Begriff der linearen Abbildung verallgemeinert. Ein wichtiges Beispiel einer multilinearen Abbildung ist die Determinante.

Definition

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Ist   ein kommutativer Ring mit Eins und sind   und   für   Moduln über dem Ring  , dann ist eine multilineare Abbildung eine auf dem Produktraum definierte Abbildung  , welche bezüglich jedes ihrer Argumente eine lineare Abbildung ist. Genauer: Ist   eine ganze Zahl, so hat eine  -(multi)lineare Abbildung die Eigenschaft

 ,

wobei   die partielle Abbildung

 

ist und   die Menge der linearen Abbildungen von   nach   bezeichnet.

Falls  , spricht man von einer  -Multilinearform.

Die Menge aller  -linearen Abbildungen von   nach   wird mit

 

bezeichnet; falls alle   dieselben sind, notiert man auch

  und schließlich  .

Beispiele

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  • Jede lineare Abbildung ist eine 1-lineare Abbildung.
  • Für   ist die Nullabbildung die einzige lineare Abbildung, welche auch  -linear ist. (Zum Beweis schreibe man  , woraus   und benutze, dass wegen der Linearität   ist, sobald eines der Argumente   ist.)
  • Jede bilineare Abbildung ist eine 2-lineare Abbildung.
  • Das Spatprodukt   im   ist eine 3-lineare Abbildung, d. h.  .
  • Sämtliche gemeinhin üblichen Produkte sind 2-lineare Abbildungen: die Multiplikation in einem Körper (reelle, komplexe, rationale Zahlen) oder einem Ring (ganze Zahlen, Matrizen), aber auch das Vektor- oder Kreuzprodukt, Skalarprodukt.
  • Die Determinante in einem n-dimensionalen Vektorraum ist eine n-lineare Multilinearform.

Weitere Eigenschaften

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Die symmetrische Gruppe der Permutationen von   definiert eine Operation auf  ,

 

das heißt durch Permutation der Argumente der  -linearen Abbildung. (Man zeigt, dass   indem man dies zunächst für zwei Transpositionen   zeigt.)

Eine Abbildung   heißt dann

  • symmetrisch, wenn   für alle   gilt.
  • antisymmetrisch, wenn   für alle   gilt, wobei   das Vorzeichen der Permutation ist.
  • alternierend, wenn  , sobald zwei der Argumente gleich sind.

Umgekehrt definiert man den Symmetrisierer

 

und den Antisymmetrisierer

 ,

welche eine beliebige multilineare Abbildung   symmetrisch resp. antisymmetrisch "machen". (Manche Autoren dividieren durch einen Faktor  , um diese Operatoren idempotent (das heißt zu Projektoren auf die entsprechenden Unterräume) zu machen, was jedoch in Körpern mit endlicher Charakteristik nicht immer möglich ist.)

Man zeigt einfach, dass eine alternierende Abbildung antisymmetrisch ist, während eine antisymmetrische Abbildung alternierend ist wenn  , und ansonsten symmetrisch ist.

Zum Beispiel sind das Kreuzprodukt und das Spatprodukt antisymmetrische Abbildungen.

Determinantenformen sind Beispiele für alternierende Multilinearformen (per Definition).

Tensoren

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Multilineare Abbildungen werden benötigt, um das Tensorprodukt mittels der folgenden universellen Eigenschaft zu definieren, und sie werden damit zugleich klassifiziert: Für jede multilineare Abbildung   gibt es genau einen Homomorphismus  , so dass das folgende Diagramm kommutiert:

 
Universelle Eigenschaft des Tensorproduktes

Literatur

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