Antisymmetrische Funktion

mathematische Funktion

Eine antisymmetrische Funktion oder schiefsymmetrische Funktion ist in der Mathematik eine Funktion mehrerer Variablen, bei der die Vertauschung zweier Variablen das Vorzeichen der Funktion umkehrt. Wichtige Spezialfälle antisymmetrischer Funktionen sind antikommutative Verknüpfungen und alternierende Multilinearformen. In der Quantenmechanik sind Fermionen genau diejenigen Teilchen, deren Wellenfunktion antisymmetrisch bezüglich des Austauschs der Teilchenpositionen ist.

Das Gegenstück zu den antisymmetrischen Funktionen sind symmetrische Funktionen.

DefinitionBearbeiten

Sind   und   zwei Vektorräume (meist über den reellen oder komplexen Zahlen), dann heißt eine multivariate Funktion   antisymmetrisch, wenn für alle Permutationen   und alle Vektoren  

 

gilt, wobei   das Signum der Permutation ist.

BeispieleBearbeiten

Konkrete BeispieleBearbeiten

Die Subtraktion

 

ist antisymmetrisch, denn durch Vertauschung der beiden Operanden   und   kehrt sich das Vorzeichen des Ergebnisses um. Antisymmetrische Funktionen dreier Variablen sind beispielsweise

 

oder

 .

Allgemeinere BeispieleBearbeiten

Weitere KriterienBearbeiten

Für den Nachweis der Antisymmetrie einer Funktion müssen nicht alle   möglichen Permutationen der symmetrischen Gruppe   überprüft werden. Nachdem sich jede Permutation als Hintereinanderausführung von Transpositionen der Form   schreiben lässt, ist eine Funktion bereits genau dann antisymmetrisch, wenn sich der Funktionswert durch die Vertauschung zweier beliebiger Variablen   und   umkehrt, also

 

für   mit   ist. Für weitere mögliche Kriterien zum Nachweis der Antisymmetrie siehe Symmetrische Funktionen, die jeweils mit Vorzeichenwechsel angewandt werden müssen.

EigenschaftenBearbeiten

Die antisymmetrischen Funktionen bilden einen Untervektorraum im Vektorraum aller Funktionen von   nach   (mit der komponentenweisen Addition und Skalarmultiplikation), das heißt

  • ein skalares Vielfaches einer antisymmetrischen Funktion ist wieder eine antisymmetrische Funktion und
  • die Summe zweier antisymmetrischer Funktionen ist ebenfalls wieder antisymmetrisch,

wobei die Nullfunktion trivialerweise antisymmetrisch ist.

AntisymmetrisierungBearbeiten

Durch Antisymmetrisierung, das heißt durch eine gewichtete Summation über alle möglichen Permutationen der Form

 

lässt sich jeder nicht antisymmetrischen Funktion   eine zugehörige antisymmetrische Funktion   zuordnen. Der Antisymmetrisierungsoperator   führt dabei eine Projektion auf den Untervektorraum der antisymmetrischen Funktionen durch. Wenn   ein Produkt von Funktionen ist, die jeweils nur von einer einzigen Variable abhängen (in der Quantenchemie wird eine solche Funktion Hartree-Produkt genannt), kann man   auch als Slaterdeterminante schreiben.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten