Symmetrische Funktion

mathematische Funktion

Eine symmetrische Funktion ist in der Mathematik eine Funktion mehrerer Variablen, bei der die Variablen untereinander vertauscht werden können, ohne den Funktionswert zu verändern. Wichtige Spezialfälle symmetrischer Funktionen sind symmetrische Multilinearformen und symmetrische Polynome. In der Quantenmechanik sind Bosonen genau diejenigen Teilchen, deren Wellenfunktion symmetrisch bezüglich des Austauschs der Teilchenpositionen ist. Das Gegenstück zu den symmetrischen Funktionen sind antisymmetrische Funktionen.

DefinitionenBearbeiten

Sind   und   zwei Mengen, dann heißt eine multivariate Funktion   symmetrisch, wenn für alle Permutationen   der symmetrischen Gruppe   und alle Elemente  

 

gilt. In der Praxis werden als Mengen   und   meist Vektorräume über den reellen oder komplexen Zahlen verwendet.

Diese Definition kann folgendermaßen auf Funktionen mit abzählbar vielen Argumenten verallgemeinert werden. Eine Funktion   heißt  -symmetrisch, wenn für alle Permutationen   und alle Elemente  

 

gilt. Eine  -symmetrische Funktion ist also symmetrisch in den ersten   Argumenten. Eine Funktion   heißt dann symmetrisch, wenn sie  -symmetrisch für alle   ist.

BeispieleBearbeiten

Konkrete BeispieleBearbeiten

Die Summe und das Produkt

    bzw.    

sind symmetrisch, denn durch Vertauschung der beiden Operanden   und   verändert sich das Ergebnis nicht. Eine symmetrische Funktion dreier Variablen ist beispielsweise die Diskriminante

 ,

Ein Beispiel für eine symmetrische Funktion, die keine Polynomfunktion ist, ist

 .

Allgemeinere BeispieleBearbeiten

Weitere KriterienBearbeiten

Für den Nachweis der Symmetrie einer Funktion müssen nicht alle   möglichen Permutationen der symmetrischen Gruppe   überprüft werden.

Vertauschungen zweier VariablenBearbeiten

Nachdem sich jede Permutation als Hintereinanderausführung von Transpositionen der Form   schreiben lässt, ist eine Funktion bereits genau dann symmetrisch, wenn sich der Funktionswert durch die Vertauschung zweier beliebiger Variablen   und   nicht verändert, also

 

für   mit   ist.

Vertauschungen benachbarter VariablenBearbeiten

Da sich jede Transposition auch als Hintereinanderausführung von Nachbarvertauschungen der Form   schreiben lässt, reicht es sogar aus, nur aufeinanderfolgende Variablen   und   zu betrachten. Es muss also für das Vorhandensein von Symmetrie lediglich

 

für   gelten.

Vertauschungen mit einer festen VariablenBearbeiten

Alternativ kann man auch die Transpositionen der Form   betrachten; eine Funktion ist damit genau dann symmetrisch, wenn die erste mit der  -ten Variablen vertauscht werden kann, ohne dass sich der Funktionswert ändert. Zum Nachweis der Symmetrie reicht es also aus, wenn

 

für   gilt. Statt der ersten Variablen kann man auch eine beliebige Variable auswählen und diese mit allen anderen Variablen vertauschen.

MinimalkriteriumBearbeiten

Ein minimales Erzeugendensystem der symmetrischen Gruppe   stellen die beiden Permutationen   und   dar. Deswegen ist eine Funktion bereits genau dann symmetrisch, wenn die beiden Bedingungen

 

und

 

erfüllt sind. Das Paar   und   kann dabei auch durch einen beliebigen Zyklus der Länge   sowie irgendeine Transposition aufeinanderfolgender Elemente in diesem Zyklus ersetzt werden.

EigenschaftenBearbeiten

Die symmetrischen Funktionen bilden einen Untervektorraum im Vektorraum aller Funktionen von   nach   (mit der komponentenweisen Addition und Skalarmultiplikation), das heißt

  • ein skalares Vielfaches einer symmetrischen Funktion ist wieder eine symmetrische Funktion und
  • die Summe zweier symmetrischer Funktionen ist ebenfalls wieder symmetrisch,

wobei die Nullfunktion trivialerweise symmetrisch ist.

SymmetrisierungBearbeiten

Durch Symmetrisierung, das heißt durch Summation über alle möglichen Permutationen

 ,

lässt sich jeder nichtsymmetrischen Funktion   eine zugehörige symmetrische Funktion   zuordnen. Der Symmetrisierungsoperator   führt dabei eine Projektion auf den Untervektorraum der symmetrischen Funktionen durch.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten