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Das schwarzsche Lemma (nach Hermann Amandus Schwarz) ist ein Satz der Funktionentheorie über holomorphe Selbstabbildungen der Einheitskreisscheibe, welche den Nullpunkt festlassen.

Inhaltsverzeichnis

AussageBearbeiten

Es bezeichne   die offene Einheitskreisscheibe. Sei   eine holomorphe Funktion mit  . Dann gilt   für alle   und  . Falls in einem Punkt   zusätzlich die Gleichheit   besteht oder   gilt, so ist   eine Drehung, d. h.   für ein geeignetes  .

BeweisBearbeiten

Sei   die Taylorentwicklung von   um den Punkt  . Wegen   ist  , so dass die Funktion

 

auf   holomorph ist und die Taylorentwicklung   um den Nullpunkt hat. Nach dem Maximumprinzip nimmt die Funktion   auf dem Kreis  ,  , ihr Maximum auf dem Rand   an. Dort gilt aber:

 

so dass |g(z)| auf ganz   durch   beschränkt ist. Da   beliebig ist, so folgt durch Grenzübergang   schon   und somit   für alle  . Weiterhin ist  .

Falls zusätzlich ein   mit   existiert oder   gilt, dann gibt es ein   mit  . Mit dem Maximumprinzip folgt, dass   konstant ist, also   für ein   mit  . Es gilt also  .

AnwendungenBearbeiten

  • Bestimmung der holomorphen Automorphismengruppe der Einheitskreisscheibe:  .
Hieraus kann man die Automorphismengruppe der oberen Halbebene   bestimmen und erhält  .
  • Das schwarzsche Lemma ist eines der Hilfsmittel, die beim modernen, mit Hilfe normaler Familien geführten Beweis des riemannschen Abbildungssatzes verwendet werden.
  • Lemma von Schwarz-Pick: Für holomorphe Funktionen   gilt   für alle  .

VerschärfungBearbeiten

Das schwarzsche Lemma besagt unter anderem, dass für eine holomorphe Funktion   mit   in der Potenzreihenentwicklung   die Bedingung   gilt. Ludwig Bieberbach zeigte, dass für injektive Funktionen auch   gilt, und stellte die später nach ihm benannte bieberbachsche Vermutung auf, dass   für alle  . Diese Vermutung wurde 1985 von Louis de Branges de Bourcia bewiesen.

LiteraturBearbeiten

  • Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: Funktionentheorie. Vieweg Verlag, Braunschweig 2003, ISBN 3-528-77247-6