Lemma von Schwarz-Pick

mathematischer Satz

Das Lemma von Schwarz-Pick (nach Hermann Schwarz und Georg Alexander Pick) ist eine Aussage aus der Funktionentheorie über holomorphe Endomorphismen des Einheitkreises, die das Schwarzsche Lemma verallgemeinert. Im Rahmen der hyperbolischen Geometrie bedeutet es, dass holomorphe Endomorphismen Kontraktionen sind.

AussageBearbeiten

Es bezeichne   die Einheitskreisscheibe und   sei eine holomorphe Funktion. Dann gilt für alle  

 

und für alle  

 

Die zweite Aussage folgt aus der ersten, indem man durch   teilt und dann   gegen   gehen lässt.

AnwendungenBearbeiten

In der hyperbolischen Geometrie ist

 

der hyperbolische Abstand. Die erste Ungleichung des Lemmas von Schwarz-Pick sagt demnach aus, dass holomorphe Funktionen   bzgl. dieser Metrik Kontraktionen sind.

Ist   und setzt man in der ersten Ungleichung  , so erhält man als Spezialfall die Aussage des Schwarzschen Lemmas.

LiteraturBearbeiten

  • Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: Funktionentheorie. Vieweg, Braunschweig u. a. 1980, ISBN 3-528-07247-4, (Vieweg-Studium 47: Aufbaukurs Mathematik).

WeblinksBearbeiten