Hauptmenü öffnen

Hesse-Matrix

transponierte Jacobi-Matrix des Gradienten

Die nach Otto Hesse benannte Hesse-Matrix ist eine Matrix, die in der mehrdimensionalen reellen Analysis ein Analogon zur zweiten Ableitung einer Funktion ist.

Die Hesse-Matrix taucht bei der Approximation einer mehrdimensionalen Funktion in der Taylor-Entwicklung auf. Sie ist unter anderem in Zusammenhang mit der Optimierung von Systemen von Bedeutung, die durch mehrere Parameter beschrieben werden, wie sie beispielsweise in den Wirtschaftswissenschaften, in der Physik, theoretischen Chemie oder in den Ingenieurwissenschaften häufig auftreten.

DefinitionBearbeiten

Sei   eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Dann ist die Hesse-Matrix von   am Punkt   definiert durch

 

Mit   werden die zweiten partiellen Ableitungen bezeichnet. Die Hesse-Matrix entspricht der Transponierten der Jacobi-Matrix des Gradienten, ist aber bei stetigen zweiten Ableitungen wegen der Vertauschbarkeit der Differentiationsreihenfolge symmetrisch,[1] so dass das Transponieren der Matrix keine Änderung bewirkt.

BeispieleBearbeiten

  • Für  ,   gilt   und  , also
 .
  • Die Funktion  ,  , die jedem Vektor im   seine euklidische Norm zuordnet, ist für alle   zweimal stetig differenzierbar und es gilt nach der Kettenregel
 
sowie weiter nach der Quotientenregel
 ,
wobei   das Kronecker-Delta bezeichnet. In Matrixschreibweise folgt also
 
mit der  -Einheitsmatrix  .

AnwendungenBearbeiten

Taylor-EntwicklungBearbeiten

Die Taylor-Entwicklung einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion   mit   um eine Entwicklungsstelle   beginnt mit

 

Die Terme zweiter Ordnung dieser Entwicklung sind also durch die quadratische Form gegeben, deren Matrix die an der Entwicklungsstelle ausgewertete Hesse-Matrix ist.

ExtremwerteBearbeiten

Mit Hilfe der Hesse-Matrix lässt sich der Charakter der kritischen Punkte einer Abbildung in   bestimmen. Dazu bestimmt man für die zuvor ermittelten kritischen Punkte die Definitheit der Hesse-Matrix.

  • Ist die Matrix an einer Stelle positiv definit, so befindet sich an diesem Punkt ein lokales Minimum der Funktion.
  • Ist die Hesse-Matrix dort negativ definit, so handelt es sich um ein lokales Maximum.
  • Ist sie indefinit, dann handelt es sich um einen Sattelpunkt der Funktion.

Falls die Hesse-Matrix an der untersuchten Stelle nur semidefinit ist, so versagt dieses Kriterium und der Charakter des kritischen Punktes muss auf anderem Wege ermittelt werden. Welcher dieser Fälle vorliegt, kann – wie unter Definitheit beschrieben – zum Beispiel mit Hilfe der Vorzeichen der Eigenwerte der Matrix oder ihrer Hauptminoren entschieden werden.

Beispiel: Die Funktion   hat in   einen kritischen Punkt, aber   ist weder positiv noch negativ definit und auch nicht semidefinit, sondern indefinit. Die Funktion hat in diesem Punkt kein Extremum, sondern einen Sattelpunkt, in dem sich zwei Höhenlinien schneiden.

KonvexitätBearbeiten

Es besteht zudem ein Zusammenhang zwischen der positiven Definitheit der Hesse-Matrix und der Konvexität einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion  , die auf einer offenen, konvexen Menge   definiert ist: Eine solche Funktion ist genau dann konvex, wenn ihre Hesse-Matrix überall in   positiv semidefinit ist. Ist die Hesse-Matrix sogar positiv definit in  , dann ist die Funktion auf   strikt konvex. Entsprechend gilt: Eine zweimal stetig differenzierbare Funktion   ist auf ihrer konvexen Definitionsmenge   genau dann konkav, wenn ihre Hesse-Matrix negativ semidefinit ist. Ist die Hessematrix sogar negativ definit auf  , so ist   auf   strikt konkav.

Ist   auf ihrer Definitionsmenge   strikt konvex, so besitzt   höchstens ein globales Minimum auf  . Jedes lokale Minimum ist zugleich das (einzige) globale Minimum. Ist   strikt konkav, so besitzt   höchstens ein globales Maximum. Jedes lokale Maximum ist zugleich ihr (einziges) globales Maximum.[2]

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten

Literatur und EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Otto Forster: Analysis 2. Differentialrechnung im Rn, gewöhnliche Differentialgleichungen. 8. Auflage. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0575-1, S. 78.
  2. Konvexe Funktionen. (Nicht mehr online verfügbar.) S. 16, archiviert vom Original am 2. November 2013; abgerufen am 16. September 2012.   Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/www.math.uni-hamburg.de