Geränderte Hesse-Matrix

Matrix zur Klassifikation stationärer Punkte bei Extremwertproblemen mit Nebenbedingungen

Die geränderte Hesse-Matrix (engl. bordered Hessian) dient zur Klassifikation von stationären Punkten bei mehrdimensionalen Extremwertproblemen mit Nebenbedingungen. Sie ist mit der „normalen“ Hesse-Matrix verwandt. Im Gegensatz zur Hesse-Matrix, welche auf positive bzw. negative Definitheit untersucht wird, ist bei der geränderten Hesse-Matrix das Vorzeichen der Determinante entscheidend.

Entscheidend ist die Vorzeichenfolge der führenden Hauptminoren, wobei gilt, dass man lediglich die k führenden Hauptminoren untersucht, für die gilt: (m Anzahl der Nebenbedingungen). Untersucht man beispielsweise eine Funktion nach Variablen mit einer Nebenbedingung, muss man betrachten, also erst die Vorzeichen ab dem 3. führenden Hauptminor (siehe auch nachfolgendes Beispiel).

Sei offen. Die Funktion sei zweimal stetig differenzierbar und sie habe in ein lokales Extremum unter der Nebenbedingung , wobei mit . Sei nun

die Lagrange-Funktion mit der Abkürzung für . Dann versteht man unter der geränderten Hesseschen Matrix die -Matrix

bzw. bereits vereinfacht

mit den zugehörigen Lösungen der Hilfsgrößen.

Form (2-dimensionaler Fall)

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Für eine zweidimensionale Funktion mit einer Nebenbedingung hat die geränderte Hesse-Matrix folgende Gestalt.

Sei   die Lagrangefunktion, wobei   eine beliebige zweidimensionale Funktion und   die Nebenbedingung ist, unter welcher optimiert werden soll.

 

Die   auf der Position oben links in der Matrix kommt durch   zustande.

Eine stationäre Stelle   von   ist dann unter der Nebenbedingung  

  • lokales Maximum, wenn  
  • lokales Minimum, wenn  
  • unentscheidbar, wenn  
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