Blockmatrix

Unterteilung einer Matrix in Teilmatrizen
(Weitergeleitet von Blockdiagonalmatrix)

In der Mathematik bezeichnet eine Blockmatrix eine Matrix, die so interpretiert wird, als sei sie in mehrere Teile, genannt Blöcke, zerlegt worden. Eine Blockmatrix kann auf intuitive Art und Weise als die Originalmatrix mit einer bestimmten Anzahl an horizontalen und vertikalen Trennstrichen dargestellt werden. Diese Trennstriche teilen die Originalmatrix in Untermatrizen auf.

Blockzerlegung einer (14 × 14)-Matrix mit Zeilen- und Spaltenpartitionen jeweils der Größe 2, 4 und 8

DefinitionBearbeiten

Sei   eine Matrix der Größe  . Die Zahl der Zeilen und der Spalten der Matrix werde nun mittels   und   ganzzahlig zerlegt, wobei   und   die Anzahl der Summanden bezeichnen. Dann lässt sich   darstellen als

 

mit Untermatrizen   der Größe  . Jede  -Matrix kann auf unterschiedliche Arten als Blockmatrix interpretiert werden, je nachdem wie die   Zeilen und   Spalten zerlegt werden. Auf triviale Weise kann jede Matrix auch als Blockmatrix mit nur einem Block oder als Blockmatrix mit   Blöcken der Größe   aufgefasst werden.

BeispielBearbeiten

Die Matrix

 

kann in vier  -Blöcke zerlegt werden

 

Die zerlegte Matrix ergibt sich dann zu

 

Multiplikation von BlockmatrizenBearbeiten

 
Beispiel einer Multiplikation zweier Blockmatrizen

Das Produkt von Blockmatrizen kann rein mit Operationen der Untermatrizen dargestellt werden. Sei   eine  -Matrix mit   Zeilenzerlegungen und   Spaltenzerlegungen

 

und   eine  -Matrix mit   Zeilenzerlegungen und   Spaltenzerlegungen

 

dann gilt, dass das Produkt

 

blockweise berechnet werden kann, wobei   eine  -Matrix mit   Zeilenzerlegungen und   Spaltenzerlegungen ist. Die Untermatrizen der Blockmatrix   sind gegeben durch

 

Oder, mithilfe der Einsteinschen Summenkonvention, welche implizit über mehrfach vorhandene Indizes summiert, kompakter dargestellt

 

BlockdiagonalmatrixBearbeiten

Eine Blockdiagonalmatrix ist eine quadratische Blockmatrix, deren Hauptdiagonale quadratische Blockmatrizen sind und deren restliche Blöcke Nullmatrizen sind. Eine Blockdiagonalmatrix   hat die Form

 

wobei die Untermatrizen   quadratische Matrizen sind. Anders ausgedrückt ist   die direkte Summe von  , das heißt

 

oder mit dem Formalismus von Diagonalmatrizen

 .

Für die Determinante und die Spur einer Blockdiagonalmatrix gilt

 

und

 .

Die Inverse einer Blockdiagonalmatrix   ist wiederum eine Blockdiagonalmatrix, zusammengesetzt aus den Inversen der einzelnen Blöcke

 

Die Eigenwerte und Eigenvektoren einer Blockdiagonalmatrix entsprechen den (kombinierten) Eigenwerten und Eigenvektoren der Untermatrizen  .

BeispielBearbeiten

Wichtige Beispiele für Blockdiagonalmatrizen sind Matrizen in Jordanscher Normalform. Die Blöcke sind in diesem Fall sogenannte Jordanblöcke, das sind Bidiagonalmatrizen, auf deren Hauptdiagonalen der Eigenwert des Blocks steht, während alle Elemente auf der Nebendiagonalen 1 sind.

BlocktridiagonalmatrixBearbeiten

Eine Blocktridiagonalmatrix ist eine andere spezielle Blockmatrix, welche genau wie die Blockdiagonalmatrix eine quadratische Matrix ist, allerdings zusätzlich mit quadratischen Blockmatrizen in den beiden ersten (oberen und unteren) Nebendiagonalen. Die restlichen Blöcke sind Nullmatrizen. Die Blocktridiagonalmatrix ist im Grunde genommen eine Tridiagonalmatrix, allerdings mit Blockmatrizen anstelle von Skalaren. Eine Blocktridiagonalmatrix   hat die Form

 

wobei  ,   und   jeweils quadratische Blockmatrizen auf der unteren Nebendiagonale, der Hauptdiagonale und der oberen Nebendiagonale sind.

Blocktridiagonalmatrizen tauchen oft in numerischen Lösungen verschiedener Probleme auf (zum Beispiel in der numerischen Strömungsmechanik). Es existieren optimierte numerische Verfahren zur LR-Zerlegung von Blocktridiagonalmatrizen und dementsprechend effiziente Verfahren zur Lösung von Gleichungssystemen mit Triadiagonalmatrizen als Koeffizientenmatrix. Der Thomas-Algorithmus, welcher zur effizienten Lösung von Gleichungssystemen mit Tridiagonalmatrix verwendet wird, kann auch auf Blocktridiagonalmatrizen angewendet werden.

Block-Toeplitz-MatrixBearbeiten

Eine Block-Toeplitz-Matrix ist eine andere spezielle Blockmatrix, welche, ähnlich wie die Toeplitz-Matrix wiederholt die gleichen Blöcke auf den Diagonalen enthält. Eine Block-Toeplitz-Matrix   hat die Form

 

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten