Der Rayleigh-Quotient, auch Rayleigh-Koeffizient genannt, ist ein Objekt aus der linearen Algebra, das nach dem Physiker John William Strutt, 3. Baron Rayleigh benannt ist. Der Rayleigh-Quotient wird insbesondere zur numerischen Berechnung von Eigenwerten einer quadratischen Matrix verwendet.

DefinitionBearbeiten

Sei   eine reelle symmetrische oder komplexe hermitesche Matrix und   mit   ein Vektor, dann ist der Rayleigh-Quotient von   zum Vektor   definiert durch[1]

 

Hierbei bezeichnet   den adjungierten Vektor von  . Der Bildbereich des Rayleigh-Quotient ist genau der numerische Wertebereich von  .

EigenschaftenBearbeiten

Bei einer Multiplikation des Vektors   mit einem Skalar   ändert sich der Rayleigh-Quotient nicht:  , er ist also eine homogene Funktion vom Grad 0.

Der Rayleigh-Quotient hat eine enge Beziehung zu den Eigenwerten von  . Ist   ein Eigenvektor der Matrix   und   der zugehörige Eigenwert, dann gilt:

 

Durch den Rayleigh-Quotient wird also jeder Eigenvektor von   auf den dazugehörigen Eigenwert   abgebildet. Diese Eigenschaft wird unter anderem in der numerischen Berechnung von Eigenwerten benutzt. Insbesondere gilt für eine symmetrische oder hermitesche Matrix   mit dem kleinsten Eigenwert   und dem größten Eigenwert   nach dem Satz von Courant-Fischer:

 

Die Berechnung des kleinsten bzw. größten Eigenwerts ist damit äquivalent zum Auffinden des Minimums bzw. Maximums des Rayleigh-Quotienten. Das lässt sich unter geeigneten Voraussetzungen auch noch auf den unendlichdimensionalen Fall verallgemeinern und ist als Rayleigh-Ritz-Prinzip bekannt.

Die Eigenvektoren hermitescher   bilden die stationären Punkte des Rayleigh-Quotienten. Dies gilt nicht für asymmetrische Matrizen. Deswegen führte Ostrowski 1958/59 den sogenannten 2-seitigen Rayleigh-Quotienten

 

ein, wobei  , der wiederum stationär an den Rechts- und Linkseigenvektoren   und   ist. Da für normale Matrizen Rechts- und Linkseigenvektoren übereinstimmen, fällt der 2-seitige mit dem (einseitigen) Rayleigh-Quotienten in diesem Fall zusammen.

Verwendung in der Numerischen MathematikBearbeiten

Bei numerischen Verfahren zur Lösung von Eigenwertproblemen, die, wie beispielsweise die Vektoriteration oder die inverse Iteration, primär Eigenvektornäherungen berechnen, lassen sich mit Hilfe des Rayleigh-Quotienten zusätzlich auch Eigenwertnäherungen bestimmen. Bei der inversen Iteration wird ein Parameter  , der Shift, benötigt. Wird   in jedem Iterationsschritt als Rayleigh-Quotient der aktuellen Eigenvektornäherung gewählt, ergibt dies das sogenannte Rayleigh-Quotienten-Verfahren.[2]

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Gisela Engeln-Müllges, Klaus Niederdrenk, Reinhard Wodicka: Numerik-Algorithmen: Verfahren, Beispiele, Anwendungen. Gabler Wissenschaftsverlage, 2010, ISBN 978-3-642-13472-2, S. 271 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  2. Lloyd N. Trefethen, David Bau: Numerical Linear Algebra. SIAM, 1997, ISBN 978-0-89871-361-9, S. 207–210 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).