Matrizenaddition

Die Matrizenaddition oder Matrixaddition ist in der Mathematik eine additive Verknüpfung zweier Matrizen gleicher Größe. Das Ergebnis einer Matrizenaddition wird Matrizensumme, Matrixsumme oder Summenmatrix genannt und ergibt sich durch komponentenweise Addition der jeweils entsprechenden Einträge der beiden Ausgangsmatrizen. Die Matrizenaddition ist assoziativ, kommutativ und mit der Matrizenmultiplikation distributiv.

Bei der Matrizenaddition weisen alle beteiligten Matrizen die gleiche Spalten- und Zeilenzahl auf.

Die Menge der Matrizen gleicher Größe bildet mit der Matrizenaddition eine additive Gruppe, deren neutrales Element die Nullmatrix ist. Die Menge der quadratischen Matrizen gleicher Größe über einem Ring bildet mit der Matrizenaddition und der Matrizenmultiplikation wiederum einen Ring. Die Menge der Matrizen gleicher Größe über einem Körper bildet mit der Matrizenaddition und der Skalarmultiplikation einen Vektorraum.

DefinitionBearbeiten

 
Bei der Berechnung der Matrizensumme werden die Matrixeinträge komponentenweise addiert.

Ist   ein Ring und sind   sowie   zwei Matrizen über  , dann wird die Matrizensumme von   und   durch

 

definiert.[1] Die Summenmatrix ergibt sich demnach durch komponentenweise Addition der entsprechenden Einträge der beiden Ausgangsmatrizen. Sie ist dabei nur für den Fall definiert, dass die beiden Ausgangsmatrizen die gleiche Größe aufweisen. Die Ergebnismatrix besitzt dann ebenfalls diese Größe.

BeispielBearbeiten

Die Matrizensumme der beiden reellen (2 × 2)-Matrizen

    und    

ergibt sich als

 .

EigenschaftenBearbeiten

Das Matrizenaddition erbt die Eigenschaften des zugrunde liegenden Rings. Sie ist assoziativ, das heißt für Matrizen   gilt

 .

und kommutativ, also

 .

Weiter ist die Matrizenaddition verträglich mit der Multiplikation von Skalaren  , das heißt

 .

Zusammen mit der Matrizenmultiplikation gelten zudem die Distributivgesetze

    und    .

Weiter gilt für die transponierte Matrix einer Summe zweier Matrizen

 .

Die Summe zweier symmetrischer Matrizen ist demnach wieder symmetrisch.

Algebraische StrukturenBearbeiten

Matrizen als GruppeBearbeiten

Die Menge der Matrizen fester Größe bildet mit der Matrizenaddition eine additive Gruppe  . Das neutrale Element in dieser Gruppe ist die Nullmatrix  , bei der alle Einträge gleich dem Nullelement in   sind. Somit gilt für alle Matrizen  

 .

Das zu einer Matrix   additiv inverse Element ist dann die Matrix

 ,

wobei   das additiv inverse Element zu   in   darstellt. Die Differenz zweier Matrizen ist damit gegeben durch[2]

 .

MatrizenringeBearbeiten

Die Menge der quadratischen Matrizen fester Größe bildet mit der Matrizenaddition und der Matrizenmultiplikation einen (nichtkommutativen) Ring  . Ist der zugrunde liegende Ring   unitär, dann ist auch der zugehörige Matrizenring unitär, wobei das Einselement durch die Einheitsmatrix   dargestellt wird.

Ebenfalls einen Ring bildet die Menge der Matrizen beliebiger fester Größe mit der Matrizenaddition und dem Hadamard-Produkt  . Ist   unitär, dann besitzt auch dieser Matrizenring ein Einselement, die Einsmatrix  , bei der alle Elemente gleich dem Einselement des Ausgangsrings sind.

MatrizenraumBearbeiten

Die Menge der Matrizen beliebiger fester Größe über einem Körper bildet mit der Matrizenaddition und der Skalarmultiplikation einen Vektorraum  . Die Standardbasis für diesen Matrizenraum besteht aus der Menge der Standardmatrizen  , bei denen der Eintrag an der Stelle   eins ist und alle anderen Einträge null sind. Der Matrizenraum hat demnach die Dimension  .

Ist   eine Matrix über dem Körper der reellen oder komplexen Zahlen und   eine Matrixnorm, dann gilt, per Definition einer Norm, die Dreiecksungleichung

 .

Die Norm einer Matrizensumme ist demnach höchstens so groß wie die Summe der Normen der Summanden.

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Artin: Algebra. S. 2.
  2. Leiserson, Rivest, Stein: Algorithmen – eine Einführung. S. 1230.