Hauptmenü öffnen

Eine Standardmatrix, Standard-Einheitsmatrix oder Matrixeinheit ist in der Mathematik eine Matrix, bei der genau ein Eintrag eins ist und alle anderen Einträge null sind. Jede Standardmatrix lässt sich als dyadisches Produkt von kanonischen Einheitsvektoren darstellen. Die Menge der Standardmatrizen bildet die Standardbasis für den Matrizenraum. Sie werden unter anderem zur Definition von Elementarmatrizen verwendet, die beim gaußschen Eliminationsverfahren zum Einsatz kommen.

DefinitionBearbeiten

Ist   ein Ring mit Nullelement   und Einselement  , dann ist die Standardmatrix   die Matrix mit den Einträgen

 

für   und  .[1] Bei der Standardmatrix   ist demnach der Eintrag an der Stelle   gleich eins und alle anderen Einträge gleich null. Eine Standardmatrix wird auch als Standard-Einheitsmatrix[2] oder Matrixeinheit[3] bezeichnet und gelegentlich durch   statt   notiert.

BeispieleBearbeiten

Ist   der Körper der reellen Zahlen und bezeichnen   und   die Zahlen Null und Eins, so sind Beispiele für Standardmatrizen der Größe  :

 

EigenschaftenBearbeiten

DarstellungenBearbeiten

Jede Standardmatrix   lässt sich als dyadisches Produkt der beiden kanonischen Einheitsvektoren   und   darstellen, das heißt

 ,

wobei   der transponierte Vektor zu   ist. Mit Hilfe des Kronecker-Deltas lässt sich eine Standardmatrix auch durch

 

notieren.

SymmetrieBearbeiten

Für die Transponierte einer Standardmatrix   gilt

 .

Damit sind nur die Standardmatrizen   symmetrisch.

ProduktBearbeiten

Für das Produkt zweier Standardmatrizen   und   gilt

 

wobei   die Nullmatrix der Größe   ist.

KenngrößenBearbeiten

Für den Rang einer Standardmatrix gilt

 .

Für die Determinante und die Spur einer quadratischen  -Standardmatrix gilt entsprechend

    und    .

Das charakteristische Polynom einer quadratischen Standardmatrix   über einem Körper   ergibt sich zu

 

Im Fall   ist demnach der einzige Eigenwert  . Für   existiert zusätzlich noch der Eigenwert   mit einfacher Vielfachheit und zugehörigem Eigenvektor  .

VerwendungBearbeiten

MatrixeinträgeBearbeiten

Mit Hilfe von Standardmatrizen   können auch einzelne Matrixeinträge als Spur dargestellt werden. Ist  , dann gilt

 .

Für das Produkt zweier Matrizen   und   gilt entsprechend

 .

StandardbasisBearbeiten

Die Menge der Standardmatrizen über einem gegebenen Körper   bildet die Standardbasis für den Vektorraum der Matrizen. Jede Matrix   lässt sich somit als Linearkombination von Standardmatrizen durch

 

mit   darstellen. So bilden die vier Standardmatrizen  ,  ,   und   die Standardbasis des Raums der  -Matrizen und man erhält beispielsweise

 .

ElementarmatrizenBearbeiten

Standardmatrizen werden auch zur Darstellung der drei Typen von Elementarmatrizen der Form

 

mit   als der Einheitsmatrix und   verwendet. Durch Multiplikation von links mit einer solchen Elementarmatrix werden Reihenoperationen, Skalierungen und Transpositionen an einer gegebenen Matrix durchgeführt. Diese Elementarmatrizen kommen bei der Beschreibung des gaußschen Eliminationsverfahrens zur Lösung linearer Gleichungssysteme zum Einsatz.

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Voigt, Adamy: Formelsammlung der Matrizenrechnung. S. 8.
  2. Arens et al: Mathematik. S. 508.
  3. Artin: Algebra. S. 11.