Selbstadjungierte Matrix

Eine selbstadjungierte Matrix ist ein Objekt aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Es handelt sich um eine spezielle Art von quadratischen Matrizen. Sind die Koeffizienten einer selbstadjungierten Matrix reell, so ist sie gerade eine symmetrische Matrix und sind die Koeffizienten komplex, so ist sie eine hermitesche Matrix.

DefinitionBearbeiten

Sei   der reelle oder komplexe Zahlenkörper und sei   das Standardskalarprodukt auf  . Eine Matrix   heißt selbstadjungiert, wenn

 

für alle   gilt.[1] Die Matrix   wird hier als lineare Abbildung auf dem   aufgefasst.

BeispieleBearbeiten

  • Die Matrix
 
mit   als der imäginären Einheit ist selbstadjungiert bezüglich des Standardskalarproduktes auf  , wegen
 
 
sind selbstadjungiert.

EigenschaftenBearbeiten

Eine reelle Matrix ist genau dann selbstadjungiert, wenn sie symmetrisch ist, also wenn   gilt, da

 .

Analog dazu ist eine komplexe Matrix genau dann selbstadjungiert, wenn sie hermitesch ist, also wenn   gilt, da

 .

Jede selbstadjungierte Matrix ist auch normal, das heißt, es gilt

 .

Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht.

Siehe auchBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. in sechs Bänden. 1. Auflage. Band ?. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim / Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8, S. ?.

WeblinksBearbeiten