Gerschgorin-Kreis

Schätzverfahren fuer Eigenwerte

Gerschgorin-Kreise dienen in der numerischen linearen Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik, zur Abschätzung von Eigenwerten. Mit ihrer Hilfe können einfach Gebiete angegeben werden, in welchen sich die Eigenwerte einer Matrix befinden und unter besonderen Bedingungen sogar wie viele Eigenwerte in diesen enthalten sind.

Sie sind benannt nach dem Mathematiker Semjon Aronowitsch Gerschgorin.

DefinitionBearbeiten

Sei   eine quadratische Matrix mit Einträgen aus   (also  ), dann ist der zum  -ten Diagonalelement   gehörende Gerschgorin-Kreis folgendermaßen definiert:

  für  

wobei   die abgeschlossene Kreisscheibe mit Radius   um den Punkt   bezeichnet.

Da die Menge der Eigenwerte (das Spektrum) von   identisch mit der von   ist, kann eine weitere Familie von Kreisen mit denselben Eigenschaften auch spaltenweise bestimmt werden:

  für  

Abschätzung von EigenwertenBearbeiten

Es gilt:

  • Das Spektrum von   ist eine Teilmenge von  
  • Falls es eine Teilmenge   von   gibt, sodass:
 
dann beinhaltet   genau   Eigenwerte (samt Vielfachheiten) der Matrix  .

Oder einprägsamer: Jede Zusammenhangskomponente der Vereinigung aller Gerschgorin-Kreisscheiben enthält genauso viele Eigenwerte wie Diagonalelemente der Matrix  .

Durch die Möglichkeit, die Kreise sowohl zeilen- als auch spaltenweise zu berechnen (die Eigenwerte der transponierten Matrix sind dieselben), können bei nichtsymmetrischen Matrizen zwei Abschätzungen pro Diagonalelement gefunden werden.

BeispieleBearbeiten

 
Gerschgorin-Kreise zu Matrix A

Zu der Matrix

 

gibt es folgende Gerschgorin-Kreise (spalten- und zeilenweise):

  •   und   zum Diagonalelement  
  •   und   zum Diagonalelement  
  •   und   zum Diagonalelement  

Da der Mengendurchschnitt   leer ist, befindet sich in   genau ein Eigenwert und in   befinden sich genau zwei.

Die tatsächlichen Eigenwerte der Matrix   sind gerundet 1,8692, 4,8730 und 6,2578 und tatsächlich in den oben angegebenen Gebieten enthalten.

Die Matrix

 

ist symmetrisch und reell, somit sind alle Eigenwerte reell und es gibt folgende reelle Intervalle (Gerschgorin-Kreise):

  •   zum Diagonalelement  
  •   zum Diagonalelement  
  •   zum Diagonalelement  

Da in der zweiten Spalte und Zeile dieser Matrix nur das Diagonalelement   verschieden von Null ist, kann ein Eigenwert mit   leicht bestimmt werden, die beiden anderen liegen in den Intervallen   und  , somit kann   direkt als positiv definit identifiziert werden. Die tatsächlichen Eigenwerte der Matrix   sind  , also ungefähr 4,6972, 7 und 8,3028.

VerwendungBearbeiten

Die Gerschgorin-Kreise bieten in der Numerik eine einfache Möglichkeit, Eigenschaften von Matrizen zu bestimmen. Enthält z. B. kein Gerschgorin-Kreis den Nullpunkt, so ist die Matrix invertierbar. Diese Eigenschaft wird im Begriff der strikt diagonaldominanten Matrix zusammengefasst. Genauso lässt sich bei symmetrischen bzw. hermiteschen Matrizen die Definitheit oftmals mithilfe der Gerschgorin-Kreise grob abschätzen.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Gerschgorin, S. Über die Abgrenzung der Eigenwerte einer Matrix. Izv. Akad. Nauk. UdSSR Otd. Fiz.-Mat. Nauk 6, Seite 749–754, 1931 [1]
  • Varga, R. S. Geršgorin and His Circles. Springer, Berlin 2004. ISBN 3540211004. Errata (PDF; 37 kB).