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Matrixexponential

Funktion auf der Menge der quadratischen Matrizen, die analog zur gewöhnlichen Exponentialfunktion definiert ist

DefinitionBearbeiten

Sei   eine reelle oder komplexe  -Matrix. Das Exponential von  , welches mit   oder   bezeichnet wird, ist die  -Matrix, welche durch die folgende Potenzreihe definiert ist (Taylor-Entwicklung):

 .

Diese Reihe konvergiert, genauso wie die der gewöhnlichen Exponentialfunktion, immer. Daher ist das Exponential von   wohldefiniert. Wenn   eine  -Matrix ist, entspricht das Matrixexponential von   der gewöhnlichen Exponentialfunktion. Eine Verallgemeinerung, welche auch für unendliche Matrizen sinnvoll ist, ist die Exponentialfunktion auf beliebigen Banachalgebren.

EigenschaftenBearbeiten

Das Matrixexponential teilt eine Reihe der Eigenschaften der gewöhnlichen Exponentialfunktion. Beispielsweise ist das Exponential der  -Nullmatrix   gleich der  -Einheitsmatrix  :

 .

Für beliebige komplexe  -Matrizen   und beliebige komplexe Zahlen   und   gilt

 .

Daraus folgt

 ,

das heißt

 .

Dabei bezeichnet   die zu   inverse Matrix.

Die Exponentialfunktion erfüllt   für alle Zahlen   und  . Dasselbe gilt für kommutierende Matrizen   und  , das heißt aus

 

folgt

 .

Für nichtkommutierende Matrizen stimmt diese Gleichung im Allgemeinen nicht. In diesem Fall kann man   mit Hilfe der Baker-Campbell-Hausdorff-Formel berechnen.

Das Exponential der zu   transponierten Matrix ist gleich der Transposition des Exponentials von  :

 

Daraus folgt, dass die Matrixexponentialfunktion symmetrische Matrizen auf symmetrische Matrizen und schiefsymmetrische Matrizen auf orthogonale Matrizen abbildet. Analog gilt zwischen Adjunktion und Exponentiation die Beziehung

 ,

so dass die Matrixexponentialfunktion hermitesche Matrizen auf hermitesche Matrizen und schiefhermitesche Matrizen auf unitäre Matrizen abbildet.

Weiterhin gilt:

  • Wenn   invertierbar ist, dann ist  .
  •  , Hier bezeichnet   die Spur der quadratischen Matrix  .
  •  .

Die ExponentialabbildungBearbeiten

Das Exponential einer Matrix ist immer eine invertierbare Matrix. Die Inverse von   ist durch   gegeben. Das (komplexe) Matrixexponential liefert somit eine Abbildung

 

aus dem Vektorraum aller (komplexen)  -Matrizen in die allgemeine lineare Gruppe, die Gruppe aller (komplexen) invertierbaren Matrizen. Diese Abbildung ist surjektiv, das heißt jede (reelle oder komplexe) invertierbare Matrix kann als die Exponentialmatrix einer komplexen Matrix geschrieben werden. Urbilder (bzw. lokale Schnitte) lassen sich durch Matrixlogarithmen berechnen.

Für je zwei Matrizen   und   gilt

 ,

wobei   eine beliebige Matrixnorm bezeichnet. Daraus folgt, dass die Exponentialabbildung stetig und auf kompakten Teilmengen von   sogar lipschitzstetig ist. Für die Norm des Matrixexponentials selbst gibt es aber eine präzisere Schranke

 

mit der logarithmischen Matrixnorm   und dem numerischen Wertebereich.

Die Zuordnung

 

definiert eine glatte Kurve in der allgemeinen linearen Gruppe, welche für   die Einheitsmatrix liefert. Dies liefert eine Einparameter-Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe, da

 

gilt. Die Ableitung dieser Funktion im Punkt   ist durch

 

gegeben. Die Ableitung für   ist gerade die Matrix  , das heißt   erzeugt diese Einparameter-Untergruppe.

Allgemeiner gilt:

 

Beispiele von Lie-Algebren und zugehörigen Lie-GruppenBearbeiten

Lie-Gruppe Beispiel
Allgemeine lineare Gruppe
 
 

 .

Orthogonale Gruppe
 
 

 

Unitäre Gruppe
 
 

 

Spezielle unitäre Gruppe
 
  wird von   surjektiv auf
  abgebildet.
Spezielle orthogonale Gruppe
 
  (schiefsymmetrische Matrizen)
wird von   surjektiv auf   abgebildet.
Spezielle lineare Gruppe
 
  wird von   nicht surjektiv auf   abgebildet.
Notorisches Gegenbeispiel   mit   liegt nicht im Bild von  .

Aus dem letzten Beispiel ist ersichtlich, dass die Exponentialabbildung für die Erzeugung von Lie-Gruppen (je nach Lie-Algebra) im Allgemeinen nicht surjektiv ist.

Lineare DifferentialgleichungenBearbeiten

Einer der Vorzüge des Matrixexponentials ist, dass man es benutzen kann, um Systeme von linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen zu lösen. Aus Gleichung (1) oben folgt zum Beispiel, dass die Lösung des Anfangswertproblems

 ,

wobei   eine Matrix ist, durch

 

gegeben ist.

Das Matrixexponential kann auch zur Lösung der inhomogenen Gleichung

 ,

verwendet werden. Beispiele findet man unten im Kapitel Anwendungen.

Für Differentialgleichungen der Form

 

mit nicht-konstantem   gibt es im Allgemeinen keine geschlossenen Lösungen. Die Magnus-Reihe liefert jedoch eine allgemeine Lösung in Matrixschreibweise über die Matrix-Exponentialfunktion auch im Fall nicht-konstanter Koeffizienten (als unendliche Reihe des Exponenten).[1]

Berechnung des MatrixexponentialsBearbeiten

Taylor-ReiheBearbeiten

Die Exponentialfunktion der Matrix   und   kann prinzipiell über ihre Taylor-Entwicklung berechnet werden:

 

Hierbei bezeichnet   die Fakultät von  . Bei ausreichender Genauigkeit (Reihe ist absolut konvergent) soll die Reihe bei einer endlichen Zahl an Berechnungsschritten abbrechen. Je größer die Einträge der Matrix sind, desto mehr Glieder der Reihe müssen aber berechnet werden (z. B. für die Lösung der linearen DGL für einen großen Zeitschritt). Um den Lösungsalgorithmus dahingehend zu verbessern, kann man die Einträge der Matrix mittels der Rechenregel   elegant skalieren ("Scaling & Squaring"-Methode). Ist die (natürliche-) Matrixnorm   nicht zu groß, kann die Berechnung der Reihe auch über die Padé-Approximation erfolgen. Die Scaling & Squaring-Methode hat einen Aufwand der Größenordnung   (im Wesentlichen Matrizenmultiplikationen). Der Faktor von   ist abhängig von den Skalierungsparametern sowie insbesondere von der Matrixnorm.

Nilpotenter FallBearbeiten

Eine Matrix   ist nilpotent, wenn   für eine geeignete natürliche Zahl   gilt. In diesem Fall kann das Matrixexponential   aus der Reihenentwicklung berechnet werden, wobei die Reihe

 

nach einer endlichen Anzahl von Termen abbricht.

Diagonalisierung der MatrixBearbeiten

Ist die Matrix   eine Diagonalmatrix

 ,

dann kann man ihr Exponential ermitteln, indem man die gewöhnliche Exponentialfunktion auf jeden Eintrag der Hauptdiagonalen anwendet:

 .

Damit kann man auch das Exponential einer diagonalisierbaren Matrix   berechnen. Zur Diagonalisierung

 

mit einer Diagonalmatrix  , werden die zugehörige Eigenbasis   sowie die   -Eigenwerte   der Matrix   bestimmt. Für die Matrix-Exponentialfunktion folgt daraus

 

mit der gewöhnlichen Exponentialfunktion  . Der Beweis folgt direkt aus der Taylor-Entwicklung der Exponentialfunktion.

Die Diagonalisierung der Matrix gehört, wie auch der QR-Algorithmus oder die Jordansche Normalform, zu den Matrix-Zerlegungsmethoden zur Berechnung der Exponentialfunktion. Die Diagonalisierung und der QR-Algorithmus haben dabei jeweils einen Aufwand der Größenordnung   und sind aber, im Vergleich zu Methoden auf Basis der Taylor-Entwicklung, unabhängig von  . Der wesentliche Berechnungsaufwand (hier: Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren) ist zudem unabhängig von der Variablen  . Zur Lösung beispielsweise von linearen Differentialgleichungen für mehrere Zeitschritte   muss dieser Arbeitsaufwand also nur einmalig erbracht werden. Die Berechnung der weiteren Zeitschritte erfolgt bei der Methode Diagonalisierung durch einfache Matrizenmultiplikation und bei dem QR-Algorithmus liegt der Aufwand in der Größenordnung von nur noch  .

Beispiel 1Bearbeiten

Es soll folgende Matrix-Exponentialfunktion berechnet werden:

 .

Hierzu wird die  -Matrix   zunächst mittels der Eigenwerte und den Eigenvektoren diagonalisiert. Mit der Diagonalmatrix   und der Eigenbasis   folgt:

 .

Die Eigenwerte werden aus dem charakteristischen Polynom bestimmt zu

 .

Für die beiden Eigenvektoren bzw. die Eigenbasis gilt:

 sowie  

Einsetzen für die Matrix-Exponentialfunktion liefert schließlich

 

als geschlossene analytische Lösung.[2]

Beispiel 2Bearbeiten

Die Matrix-Exponentialfunktion

 

hat eine Lösung, jedoch ist die Matrix   selbst nicht diagonalisierbar. Die Matrix besitzt die beiden Eigenwerte  . Obwohl also der Eigenwert die algebraische Vielfachheit 2 hat, existiert nur ein linear unabhängiger Eigenvektor. Die Basis aus den Eigenvektoren

 

ist nicht invertierbar. Die Diskriminante des charakteristischen Polynoms

 

wird dabei immer null. In diesem Fall, also wenn gleiche Eigenwerte bzw. Eigenvektoren vorkommen, kann formell die Jordansche Normalform zur Transformation verwendet werden.

Splitting-MethodeBearbeiten

Zerfällt das Minimalpolynom (bzw. das charakteristische Polynom) der Matrix   in Linearfaktoren (über   ist das stets der Fall), dann kann   eindeutig in eine Summe

 

zerlegt werden, wobei

  •   diagonalisierbar ist,
  •   nilpotent ist und
  •   mit   kommutiert (d. h.  ).

Damit kann man das Exponential von   berechnen, indem man es auf die vorgenannten Fälle reduziert:  . Im letzten Schritt benötigt man die Kommutativität von   und  .

Verwendung der Jordanschen-NormalformBearbeiten

Eine weitere Methode ist die Verwendung der Jordanschen Normalform von  , wobei auch die Splitting-Methode zum Einsatz kommt. Sei   die Jordansche Normalform von   mit der Basiswechselmatrix  , dann gilt

 

Wegen

 

gilt

 

Daher muss man nur das Exponential eines Jordan-Blocks kennen. Nun ist jeder Jordan-Block von der Form

 

wobei   eine spezielle nilpotente Matrix ist. Das Exponential des Jordan-Blocks ist also

 

BeispielBearbeiten

Man betrachte die Matrix

 ,

welche die Jordansche Normalform

 

mit der Übergangsmatrix

 

hat. Dann gilt

 

und

 .

Somit ist

 .

Das Exponential einer 1×1-Matrix ist trivial. Mit   folgt

 

Die Jordansche Normalform und daraus das Exponential zu berechnen, ist auf diesem Weg sehr mühsam. Meist reicht es, die Wirkung der Exponential-Matrix auf einige Vektoren zu berechnen.

Numerische BerechnungBearbeiten

Die Jordan-Normalform-Zerlegung ist numerisch instabil, da aufgrund der Gleitkommaarithmetik Rundungsfehler in die Eigenwerte eingeführt werden, die eine Gruppierung der Eigenwerte in Gruppen identischer Eigenwerte unmöglich macht. Daher werden in der Numerik andere Techniken zur Berechnung des Matrixexponentials verwendet. Zu den effektivsten verfügbaren Algorithmen gehört die Padé-Approximation mit Skalieren und Quadrieren (s. Berechnung mittels Taylorreihe) oder die Matrix-Zerlegungsmethoden wie die Diagonalisierung der Matrix. Bei großen Matrizen kann der Rechenaufwand auch reduziert werden, indem Krylowräume verwendet werden, deren Basisvektoren mit dem Arnoldi-Verfahren orthogonalisiert worden sind.

Putzer-AlgorithmusBearbeiten

Eine weitere Möglichkeit das Matrixexpontial zu berechnen, ist der Putzer-Algorithmus. Dabei definiert man bei gegebener Matrix   und   rekursiv stetig-differenzierbare Funktion   und Matrizen  , so dass gilt:

 

Die Lösung des Matrixexponentials einer  -Matrix wird hierbei als Polynom erhalten. Die Berechnung hat dabei einen Aufwand der Größenordnung   (Berechnung der Eigenwerte sowie insbesondere   Matrizenmultiplikationen) und eignet sich daher eher nur für kleine Matrizen.

AnwendungenBearbeiten

Homogene lineare DifferentialgleichungenBearbeiten

Das Matrixexponential kann für die Lösung eines Systems von linearen Differentialgleichungen verwendet werden. Eine Differentialgleichung der Form

 

hat die Lösung  . Wenn man den Vektor

 

betrachtet, dann kann man ein System von gekoppelten linearen Differentialgleichungen betrachten als

 .

Wenn man den Integrationsfaktor   ansetzt und auf beiden Seiten multipliziert, erhält man

 ,
 .

Wenn man   berechnet, erhält man eine Lösung des Differentialgleichungssystems.

Beispiel (homogen)Bearbeiten

Gegeben sei das folgende Differentialgleichungssystem

 

Es lässt sich schreiben als   mit der Koeffizientenmatrix

 .

Damit ergibt sich das zugehörige Matrixexponential zu

 .

Als allgemeine Lösung des Differentialgleichungssystems erhält man somit

 .

Inhomogener Fall – Variation der KonstantenBearbeiten

Für den inhomogenen Fall kann man eine Methode ähnlich der Variation der Konstanten benutzen. Es wird eine Lösung der Form   gesucht:

 

Um die Lösung   zu ermitteln, setzt man

 
 
 

Damit ergibt sich

 ,

wobei   durch die Anfangsbedingungen bestimmt wird.

Beispiel (inhomogen)Bearbeiten

Gegeben sei das Differentialgleichungssystem

 

Mit der Matrix   von oben schreibt sich das System

 

mit

 .

Die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung wurde bereits oben berechnet. Die Summe aus homogenen und speziellen Lösungen ergibt die Lösung für das inhomogene Problem. Man muss jetzt nur noch eine spezielle Lösung   finden (über die Variation der Konstanten). Von der Gleichung oben erhält man:

 ,

also

 .

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Roger A. Horn, Charles R. Johnson: Topics in Matrix Analysis. Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-46713-6 (englisch).
  • Cleve Moler, Charles F. Van Loan: Nineteen Dubious Ways to Compute the Exponential of a Matrix, Twenty-Five Years Later. In: SIAM Review. Band 45, Nr. 1, 2003, ISSN 1095-7200, S. 1–49, doi:10.1137/S00361445024180 (cornell.edu [PDF]).
  • V. I. Arnolʹd: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Springer-Verlag, Berlin/ New York 1980, ISBN 3-540-09216-1.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. S. Blanes, F. Casas, J. A. Oteo, J. Ros: The Magnus expansion and some of its applications. (= Physics Reports. Band 470). Cornell University Library, 2009, OCLC 635162561.
  2. T. Möller: Symbolic mathematics-based simulation of cylinder spaces for regenerative gas cycles. In: Int J Energy Environ Eng. Springer Berlin/ Heidelberg, Feb. 2015. http://link.springer.com/article/10.1007/s40095-015-0163-3