Weyl-Gleichung

Die Weyl-Gleichung der Teilchenphysik, benannt nach Hermann Weyl, ist die Diracgleichung für masselose Teilchen mit Spin 1/2. Sie wird bei der Beschreibung der schwachen Wechselwirkung verwendet. Entsprechend heißen Fermionen, die diese Gleichung erfüllen, Weyl-Fermionen.

HerleitungBearbeiten

Die Darstellung der Lorentzgruppe auf Dirac-Spinoren ist reduzibel. In einer geeigneten Darstellung der Dirac-Matrizen, der Weyl-Darstellung, transformieren die ersten beiden und die letzten beiden Komponenten der 4er-Spinoren getrennt, weshalb sie auch als Bispinoren bezeichnet werden:

 

Die 2er-Spinoren   und   sind die links- und rechtshändigen Weyl-Spinoren. Sie sind die Eigenzustände des Chiralitätsoperators  , wenn man ihn in der Weyl-Darstellung schreibt.

 .

Sie werden in der Diracgleichung für ein freies Spin-1/2-Teilchen durch die Masse   gekoppelt:

 

Hierbei ist   und  , wobei   die drei Pauli-Matrizen sind und   die zweidimensionale Einheitsmatrix.

Verschwindet die Masse ( ), entkoppelt die vierdimensionale Dirac-Gleichung in zwei zweidimensionale Gleichungen für den links- und den rechtshändigen Spinor:

 

Chirale KopplungBearbeiten

Zur Beschreibung der elektroschwachen Wechselwirkung ist wichtig, dass die links- und rechtshändigen Spinoren unterschiedlich, aber Lorentz-kovariant, an Vektorfelder koppeln können (chirale Kopplung). Die Kopplung entsteht, indem die Ableitungen durch kovariante Ableitungen ersetzt werden:

 

Dabei bezeichnen

Die Eichgruppe kann für links- und rechtshändige Teilchen verschieden gewählt werden, ohne dass die Lorenz-Kovarianz dadurch beeinträchtigt wird.