Integraloperator

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Ein linearer Integraloperator ist ein mathematisches Objekt aus der Funktionalanalysis. Dieses Objekt ist ein linearer Operator, der mit einer bestimmten Integralschreibweise mit einem Integralkern dargestellt werden kann.

DefinitionBearbeiten

Seien   und   offene Teilmengen und sei   eine messbare Funktion. Ein linearer Operator   zwischen den Funktionenräumen   heißt Integraloperator, wenn er durch

 

dargestellt werden kann. Die Funktion   heißt Integralkern oder kurz Kern von  . An   müssen natürlich gewisse Regularitätsanforderungen gestellt werden, damit das Integral überhaupt existiert. Diese Anforderungen sind abhängig vom Definitionsbereich   des Integraloperators. Oftmals sind die Integralkerne aus dem Raum der stetigen Funktionen oder aus dem Raum der quadratintegrierbaren Funktionen. Gilt für einen Integralkern   und   für alle  , dann nennt man den Integralkern symmetrisch.

BeispieleBearbeiten

Tensorprodukt-IntegralkernBearbeiten

Seien   zwei quadratintegrierbare Funktionen. Das Tensorprodukt dieser Funktionen ist definiert als

 

wobei   die komplexe Konjugation ist. Das Tensorprodukt   kann als Integralkern des Operators   mit

 

verwendet werden. Dieser Integraloperator ist auf   wohldefiniert.

VolterraoperatorBearbeiten

Der Integraloperator

 

ist zum Beispiel für alle Funktionen   definiert. Er heißt Volterraoperator und kann zur Bestimmung einer Stammfunktion von   verwendet werden. Sein Integralkern   ist gegeben durch

 

Da   gilt, ist   ein Hilbert-Schmidt-Operator.

Fredholmscher IntegraloperatorBearbeiten

Sei   eine stetige Funktion. Dann ist ein Integraloperator durch

 

für alle und   definiert. Dieser Operator ist stetig und bildet zwischen den Funktionenräumen   ab. Dieser Integraloperator ist ein Beispiel eines fredholmschen Integraloperators und   ist sein Kern, der auch Fredholm-Kern genannt wird. Ein allgemeiner fredholmscher Integraloperator zeichnet sich dadurch aus, dass die Integralgrenzen im Gegensatz zum Volterra-Operator fix sind und der Integraloperator ein linearer kompakter Operator ist.

Cauchysche IntegralformelBearbeiten

Die cauchysche Integralformel ist definiert als

 

wobei   eine geschlossene Kurve in   um den Punkt   ist. Ist   dann eine holomorphe Funktion, so ist   die Erweiterung der Funktion   auf einen größeren Bereich. Aber dieser Integraloperator wird in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen auch zur Untersuchung nicht holomorpher Funktionen verwendet. Der Integralkern der cauchyschen Integralformel ist  .

IntegraltransformationenBearbeiten

Einige Integraloperatoren nennt man traditionell eher Integraltransformationen. Sie spielen zum Beispiel in der Signalverarbeitung eine wesentliche Rolle und dienen der besseren Handhabe und Analyse des Informationsgehaltes eines Signals  . Wesentlich für Integraltransformationen ist der Integralkern  , welcher eine Funktion von der Zielvariablen   und der Zeitvariablen   ist. Durch Multiplikation des Signals   mit dem Integralkern   und anschließender Integration über den Grundraum   im Zeitbereich wird die sogenannte Bildfunktion   im Bildbereich   gebildet:

 

Erfüllt der Integralkern die Reziprozitätsbedingung, das heißt, es existiert ein „inverser Kern“  , kann aus der Bildfunktion   das Signal   rekonstruiert werden. In der praktischen Anwendung im Bereich der Signalverarbeitung spielt die Gruppe der selbstreziproken Kerne eine wesentliche Rolle. Ein Kern ist dann selbstreziprok wenn gilt:

 

mit der komplexen Konjugation   des Integrationskerns  . Ein Beispiel für eine Integraltransformation mit selbstreziprokem Kern ist die Fourier-Transformation.

Eine weitere in der Signalverarbeitung bedeutende Form stellen die Faltungskerne dar, welche nur von der Differenz   bzw. von   abhängen. Die Transformation bzw. Rücktransformation lässt sich dann mit der Faltung ausdrücken als:

 
 

Ein Beispiel für eine Integraltransformation mit Faltungskern ist die Hilbert-Transformation.

In der folgenden Tabelle werden einige bekannte, invertierbare Integraltransformationen mit entsprechendem Integralkern  , Integrationsbereich   und „inversen Integralkern“   gelistet.

Transformation Symbol        
Fourier-Transformation          
Hartley-Transformation          
Mellin-Transformation              
Zweiseitige Laplace-Transformation          
Laplace-Transformation            
Weierstraß-Transformation          
Abel-Transformation        
Hilbert-Transformation  ,          
Hankel-Transformation
mit   Bessel-Funktion
erster Gattung und ν-ter Ordnung
             
Stieltjes-Transformation            

Integraltransformationen lassen sich auf höhere Dimensionen erweitern, beispielsweise spielen in der Bildverarbeitung zweidimensionale Integraltransformationen eine wesentliche Rolle. Bei Erweiterung auf zwei Dimensionen werden die Funktionen einer Variablen auf Funktionen von zwei Variablen festgelegt, die Integralkerne sind dann Funktionen mit vier Variablen. Im Falle von unabhängigen Variablen können die Kerne faktorisiert werden und setzten sich dann als ein Produkt zweier einfacher Kerne zusammen.

Singuläres IntegralBearbeiten

Singuläre Integrale sind Integraloperatoren, die einen Integralkern mit Singularität haben. Das heißt, der Integralkern ist auf der Diagonalen nicht Lebesgue-integrierbar. Daher muss der Integralbegriff für die im Folgenden definierten Integralkerne angepasst werden.

Standard-IntegralkernBearbeiten

Sei   die Diagonale in  . Dann bezeichnet man als Standard-Kern eine stetige Funktion

 

mit den folgenden zwei Eigenschaften:

  1.  
  2.  

Die Gradienten sind im distributionellen Sinne zu verstehen.

Singulärer IntegraloperatorBearbeiten

Sei   ein Standard-Integralkern. Dann heißt der Operator

 

singulärer Integraloperator. Der Name kommt daher, dass der Operator für   eine Singularität besitzt. Auf Grund dieser Singularität konvergiert das Integral im Allgemeinen nicht absolut. Daher muss der Ausdruck   als

 

verstanden werden. Dieser Ausdruck existiert für alle   mit  .

Distributionen als IntegralkerneBearbeiten

Auch Distributionen können als Integralkerne verwendet werden. Ein zentraler Satz aus diesem Bereich ist der Kernsatz von Schwartz. Dieser besagt, dass es zu jeder Distribution   einen linearen Operator

 

gibt, der für alle   und   durch

 

gegeben ist. Außerdem gilt auch die Rückrichtung. So gibt es zu jedem Operator   eine eindeutige Distribution   so dass   gilt. Diese Distribution   nennt man Schwartz-Kern, benannt nach dem Mathematiker Laurent Schwartz, der den Kernsatz als erster formulierte. Diese Operatoren   können jedoch nicht als Integraloperatoren mit dem Lebesgue-Integral dargestellt werden. Da die Darstellung als Integraloperator jedoch wünschenswert erschien, führte Lars Hörmander den Begriff des oszillierenden Integrals ein. Mit diesem neuen Integralbegriff kann der Integralkern durch

 

angegeben werden und dann ist der Operator   als Integraloperator der Gestalt

 

gegeben, wobei die Integrale wieder oszillierende Integrale sind. Die Gleichheitszeichen sind im Sinne von Distributionen zu verstehen, was

 

bedeutet.

Nichtlineare IntegraloperatorenBearbeiten

Ein nichtlinearer (Urysohn-)Integraloperator hat die Gestalt

 

mit einem geeigneten Definitionsbereich der Kernfunktion K und Integrationsbereich Ω.

LiteraturBearbeiten

  • M.A. Krasnoselski: Topological Methods in the Theory of nonlinear Integral Equations. Oxford 1964.
  • Dirk Werner: Funktionalanalysis. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6.
  • Elias M. Stein: Harmonic Analysis: Real-Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals. Princeton University Press, 1993, ISBN 0-691-03216-5.