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Der Ortsoperator gehört in der Quantenmechanik zur Ortsmessung von Teilchen.

Der physikalische Zustand eines Teilchens ist in der Quantenmechanik mathematisch gegeben durch den zugehörigen Vektor eines Hilbertraumes H. Dieser Zustand wird folglich in der Bra-Ket-Notation durch den Vektor beschrieben. Die Observablen werden durch selbstadjungierte Operatoren auf H dargestellt.

Speziell ist der Ortsoperator die Zusammenfassung der drei Observablen , so dass

der Mittelwert (Erwartungswert) der Messergebnisse der j-ten Ortskoordinate des Teilchens im Zustand ist.

Definition und EigenschaftenBearbeiten

  • Die drei Ortsoperatoren sind selbstadjungierte Operatoren  , die mit den ebenfalls selbstadjungierten Impulsoperatoren   die folgenden kanonischen Vertauschungsrelationen erfüllen:
 
  • Daraus folgt, dass die drei Ortskoordinaten gemeinsam messbar sind und dass ihr Spektrum (Bereich der möglichen Messwerte) aus dem gesamten Raum   besteht. Die möglichen Orte sind also nicht quantisiert, sondern kontinuierlich.

OrtsdarstellungBearbeiten

Die Ortsdarstellung ist durch die Spektraldarstellung des Ortsoperators definiert. Der Hilbertraum   ist der Raum der quadratintegrierbaren komplexen Funktionen des Ortsraums  , jeder Zustand   ist durch eine Ortswellenfunktion   gegeben.

Die Ortsoperatoren   sind die Multiplikationsoperatoren mit den Koordinatenfunktionen, d. h. der Ortsoperator   wirkt auf Ortswellenfunktionen   durch die Multiplikation der Wellenfunktion mit der Koordinatenfunktion  

 

Dieser Operator   ist als Multiplikationsoperator ein dicht definierter Operator und abgeschlossen. Er ist auf dem Unterraum   definiert, der in H dicht liegt.

Der Erwartungswert ist

 

Der Impulsoperator wirkt auf Ortswellenfunktionen (bei geeigneter Wahl der Phasen) als Differentialoperator:

 

EigenfunktionenBearbeiten

Die Eigenfunktionen des Ortsoperators müssen die Eigenwertgleichung

 

erfüllen, wobei   die Eigenfunktion des Ortsoperators zum Eigenwert   darstellt.

Die Eigenfunktionen   zum Ortsoperator entsprechen Delta-Distributionen:  

mit der Identität:  

ImpulsdarstellungBearbeiten

In der Impulsdarstellung wirkt der Impulsoperator multiplikativ auf Impulswellenfunktionen  

 
und der Ortsoperator als Differentialoperator:
 

LiteraturBearbeiten