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Observable

beobachtbare Eigenschaft oder messbare Größe

Eine Observable (lateinisch observabilis ‚beobachtbar‘) ist in der Physik, insbesondere der Quantenphysik, der formale Name für eine Messgröße und den ihr zugeordneten Operator, die im Zustandsraum, einem Hilbertraum, wirken. Beispiele sind die Energie, die Ortskoordinaten, die Koordinaten des Impulses und die Komponenten des Spins eines Teilchens sowie die Pauli-Matrizen.

Von-Neumann'sche TheorieBearbeiten

Im traditionellen von-Neumann'schen mathematischen Formalismus der Quantenmechanik werden Observablen durch selbstadjungierte, dicht definierte lineare Operatoren   auf einem Hilbertraum   dargestellt. Diese Theorie verallgemeinert die Born’sche Wahrscheinlichkeitsinterpretation.

Das Ergebnis einer Messung der Observablen   eines quantenmechanischen Systems, dessen Zustand durch einen normierten Vektor   beschrieben wird (Wellenfunktion in Bra-Ket-Notation), ist zufällig. Die Wahrscheinlichkeit, mit der ein bestimmter Messwert   auftreten kann, ist gegeben durch die Wahrscheinlichkeitsverteilung

 

wobei   das Spektralmaß von   nach dem Spektralsatz bezeichnet.

Wird der quantenmechanische Zustand des Systems allgemeiner durch einen Dichteoperator   beschrieben, so ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Messergebnisses gegeben durch

 

mit dem Spurklasseoperator  .

Der Erwartungswert des Messergebnisses, also der Erwartungswert der Wahrscheinlichkeitsverteilung  , ist gegeben durch   bzw. durch  .

Im Spezialfall, dass das Spektrum von   diskret und einfach ist, sind die möglichen Messergebnisse die Eigenwerte von  . Die Wahrscheinlichkeit, den Eigenwert   als Messergebnis zu finden, lautet dann   bzw.  , wobei   einen normierten Eigenvektor zum Eigenwert   bezeichnet.

Beispiele:

  • Der Observablen „Ort“ eines Teilchens in einer Dimension entspricht (in Ortsdarstellung) der Multiplikationsoperator mit   über dem Lebesgue-Raum  , der Ortsoperator.
  • Der Observablen „Impuls“ eines Teilchens in einer Dimension entspricht (in Ortsdarstellung) der Differentialoperator   über  ; genauer gesagt dessen selbstadjungierte Fortsetzung, der Impulsoperator. Hierbei bezeichnet   das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum.
  • Der Observablen „Energie“ entspricht der Hamiltonoperator.

Beschreibung durch POVMBearbeiten

Die Beschreibung von Zeitmessungen passt nicht in den traditionellen von-Neumann'schen Formalismus, z. B. der Ankunftszeit eines Teilchens in einem Detektor. Eine genauere realistische formale Modellierung realer Experimente zeigt, dass auch die meisten realen Messungen an Quantensystemen nicht genau durch von-Neumann’sche Observable beschrieben werden. Diese Defekte behebt die allgemeinere Beschreibung quantenmechanischer Observablen durch POVM.

Siehe auchBearbeiten