Hauptmenü öffnen

Die Addition (lateinisch additio, von addere „hinzufügen“), umgangssprachlich auch Plus-Rechnen oder Und-Rechnen genannt, ist eine der vier Grundrechenarten in der Arithmetik. Die Addition basiert auf dem Vorgang des Zählens. Deshalb verwendet man für den Vorgang, eine Addition auszuführen, neben Addieren auch den Ausdruck Zusammenzählen. Das Rechenzeichen für die Addition ist das Pluszeichen „+“. Es wurde 1489 von Johannes Widmann eingeführt.

Beispiel: 2 + 3 = 5 wird gelesen als „zwei plus drei (ist) gleich fünf“ oder umgangssprachlich „zwei und drei ergibt fünf“.

Inhaltsverzeichnis

SprachregelungenBearbeiten

Die Elemente einer Addition werden Summanden und das Ergebnis Summe genannt:

erster Summand + zweiter Summand = Summe

Bis hinein ins 20. Jahrhundert konnten sich außerdem die Bezeichnungen Augend für den ersten und Addend für den zweiten Summanden halten, welche inzwischen sehr selten sind:

Augend + Addend = Summe

Grundregeln und EigenschaftenBearbeiten

 
Zusammenhang zwischen den Vorzeichen der Summe und den Summanden

Die Addition kann in allen Zahlenbereichen ausgeführt werden.

KommutativgesetzBearbeiten

Der Wert einer Summe ist unabhängig von der Reihenfolge der Summanden. Sowohl   als auch   ergeben als Resultat  . Man nennt diese Eigenschaft das Kommutativgesetz oder Vertauschungsgesetz der Addition. Für alle Zahlen   und   gilt damit formal:

 

AssoziativgesetzBearbeiten

Bei der Addition dürfen Klammern umgesetzt oder weggelassen werden, ohne dass sich der Wert der Summe ändert. Man nennt diese Eigenschaft das Assoziativgesetz oder Verbindungsgesetz der Addition. Für alle Zahlen  ,   und   gilt:

 

Da es bei der Addition mehrerer Zahlen daher auf die Klammern nicht ankommt, lässt man sie oft weg und schreibt etwas kürzer

 

Neutralität der NullBearbeiten

Die Zahl Null mit dem Symbol   ist das neutrale Element der Addition. Für alle Zahlen   gilt:

 

Die Null ist die einzige Zahl mit dieser Eigenschaft.

GegenzahlBearbeiten

Die Gegenzahl (bzw. das additive Inverse) zu einer Zahl   ist diejenige Zahl   für die   gilt. Zum Beispiel ist   die Gegenzahl zu  . Man schreibt   für die Gegenzahl von   und es gilt dann:

 

DistributivgesetzeBearbeiten

Im Zusammenspiel der Addition mit der Multiplikation gelten die Distributivgesetze. Für alle Zahlen  ,   und   gilt:

 
 

Demnach kann durch Ausmultiplizieren ein Produkt in eine Summe umgewandelt werden und umgekehrt durch Ausklammern eine Summe in ein Produkt.

KürzungsregelnBearbeiten

Durch Addition einer Zahl zu beiden Seiten einer Gleichung oder Ungleichung ändert sich der Wahrheitsgehalt einer Gleichung nicht. Für alle Zahlen  ,   und   gilt:

 
 
 

Lösung von GleichungenBearbeiten

Die Umkehroperation der Addition ist die Subtraktion. Zur Subtraktion gelangt man über die Frage nach der Lösung elementarer Gleichungen der Form

 ,

wobei   und   gegebene Zahlen sind und die Zahl   gesucht ist. Wegen der Kürzungsregel ist die Lösung eindeutig, sofern sie existiert. Somit kann   als Definition für die Subtraktion   dienen. Es gilt dann

 

In den natürlichen Zahlen ist die Gleichung   genau dann lösbar, wenn   ist. Für   ist jedoch die umgekehrte Gleichung

 

lösbar. In den ganzen Zahlen ist erstere Gleichung immer lösbar und es gilt

 ,

was durch Einsetzen und Anwendung der Rechenregeln als Lösung verifiziert werden kann.

Definition der Addition aus den Peano-AxiomenBearbeiten

Ausgehend von den Peano-Axiomen lässt sich die Addition auf den natürlichen Zahlen folgendermaßen definieren:

  •  
  •  

  bezeichnet den Nachfolger von  , der aufgrund der Peano-Axiome eindeutig bestimmt ist. Da 1 der Nachfolger von 0 ist, gilt

  •  

Der Nachfolger von   stimmt also mit   überein.

Schriftliche AdditionBearbeiten

Die schriftliche Addition ist eine der grundlegenden Kulturtechniken, die bereits in den ersten Schuljahren der Grundschule erlernt wird. Die Beherrschung der schriftlichen Addition ist auch Voraussetzung für das Erlernen der schriftlichen Multiplikation.

Traditionelles VerfahrenBearbeiten

Bei dem Verfahren, das u. a. im deutschsprachigen Raum an den Grundschulen gelehrt wird, werden die zu addierenden Zahlen in der Darstellung des Dezimalsystems so übereinander geschrieben, dass entsprechende Stellen untereinander stehen (Einer über Einern, Zehner über Zehnern usw.). Die Ziffern werden dann – von rechts nach links – Stelle für Stelle addiert; das Zwischenergebnis wird unten notiert, jedoch nur die letzte Stelle. Ist das Zwischenergebnis mehrstellig, so entstehen Überträge, die beim Abarbeiten der jeweils nächsten Spalte berücksichtigt werden müssen. Für die Durchführung des Verfahrens ist es erforderlich, die Summen von Zahlen zwischen 0 und 9 auswendig zu wissen.

Beispiel:

Schriftliches Addieren von DezimalzahlenBearbeiten

Hierbei schreibt man die Zahlen so untereinander, dass das Dezimalkomma genau untereinander steht. Man kann sich das Komma wegdenken und später beim Ergebnis an derselben Stelle wieder dazuschreiben. Falls die Summanden unterschiedlich viele Nachkommastellen besitzen, werden an die Nachkommastellen so viele Nullen angefügt, bis alle Summanden die gleiche Anzahl an Nachkommastellen haben.

Weitere NotationsmöglichkeitBearbeiten

Summen können auch mittels des Summensymbols   (nach dem großen griechischen Buchstaben Sigma) notiert werden:

 

Unter das Sigma wird die Zählvariable (in diesem Fall  ) geschrieben. Ihr kann ein Startwert (hier:  ) durch die Verbindung mit einem Gleichheitszeichen zugewiesen werden. Erfolgt diese Zuweisung nicht, so bedeutet das eine Summierung über alle möglichen  . Über dem Sigma steht der Endwert (hier:  ). Zwischen dem Startwert und dem Endwert wird die Zählvariable jeweils um Eins erhöht. Um die Summe berechnen zu können, müssen   und   ganze Zahlen sein. Im Fall   besteht die Summe aus einem Summanden, im Fall   wird sie als 0 definiert.

Bildet man eine Summe aus unendlich vielen Ausdrücken, so wird diese unendliche Reihe genannt. Ein Beispiel ist die Leibniz-Reihe:

 .

Das Symbol   steht dabei für unendlich. Der Umgang mit dem Summensymbol sowie einige häufig vorkommende Summen werden im Artikel Summe beschrieben.

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten

  Wiktionary: Addition – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
  Wiktionary: addieren – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen