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Als Umkehroperation bezeichnet man in der Mathematik die Vorschrift, mit der man zu einer bestimmten zweistelligen Rechenoperation aus deren Ergebnis und einem der beiden Operanden den jeweils anderen Operanden zurückerhält.

Bei den Grundrechenarten ist die Umkehroperation der Addition die Subtraktion und die Umkehroperation der Multiplikation die Division.

Für manche Operationen, so auch die Multiplikation, ist dabei allerdings ihre Umkehrung nicht mit jeder Kombination von Operanden möglich (s. u.).

Umkehroperationen können auch als spezielle Umkehrfunktionen betrachtet werden.

BeispieleBearbeiten

Addition

Wenn bei der Addition   die Summe   und der Summand   bekannt sind, erhält man den anderen Summanden   durch die Subtraktion  . Also ist die Subtraktion eine Umkehroperation der Addition. Da die Addition kommutativ ist, erhält man bei bekannter Summe   und Summanden   den anderen Summanden   ebenfalls durch eine Subtraktion, nämlich  .

Multiplikation

Wenn bei der Multiplikation   das Produkt   und der Faktor   bekannt sind, erhält man den anderen Faktor   durch die Division  . Also ist die Division eine Umkehroperation der Multiplikation. Da die Multiplikation ebenfalls kommutativ ist, erhält man bei bekanntem Produkt   und Faktor   den anderen Faktor   ebenfalls durch eine Division, nämlich  .

Nicht mehr anwendbar allerdings wird dieses Verfahren, sobald einer der beiden Faktoren und damit auch deren Produkt Null wird, da eine Division durch Null grundsätzlich verboten ist.

Potenzieren

Wenn bei der Potenz   das Ergebnis   und der Exponent   bekannt sind, erhält man die Basis   durch die Wurzel  . Also ist das Wurzelziehen eine Umkehroperation des Potenzierens, mit der die Frage nach der verwendeten Basis beantwortet wird.

Sind aber das Ergebnis   und die Basis   bekannt, erhält man den Exponenten   durch den Logarithmus  . Also ist das Logarithmieren eine weitere Umkehroperation des Potenzierens, mit der die Frage nach dem verwendeten Exponenten beantwortet wird.

In Gegensatz zur Addition und Multiplikation hat das Potenzieren zwei Umkehroperationen, weil die Operation nicht kommutativ ist.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • E. Cramer, J. Neslehova: Vorkurs Mathematik. 2. Auflage. Springer, Berlin, Heidelberg, New York 2005, ISBN 3-540-26186-9, S. 14, 19, 87.