Casimir-Operator

Der Casimir-Operator (auch Casimir-Invariante, benannt nach dem Physiker Hendrik Casimir) wird im mathematischen Teilgebiet der Algebra und der Differentialgeometrie untersucht. Er ist ein spezielles Element aus dem Zentrum der universellen einhüllenden Algebra einer Lie-Algebra. Ein typisches Beispiel ist der quadrierte Drehimpulsoperator, der eine Casimir-Invariante der dreidimensionalen Drehgruppe ist.

Definition

Angenommen, ${\mathfrak {g}}$ ist eine $n$-dimensionale halbeinfache Lie-Algebra. Sei

$\{X_{i}\}_{i=1}^{n}$

irgendeine Basis von ${\mathfrak {g}}$ und

$\{X^{i}\}_{i=1}^{n}$

sei die Dualbasis von ${\mathfrak {g}}$ hinsichtlich einer festen invarianten Bilinearform (z. B. der Killingform) auf ${\mathfrak {g}}$. Das quadratische Casimir-Element $\Omega$ ist das durch die Formel

$\Omega =\sum _{i=1}^{n}X_{i}X^{i}$

gegebene Element der universellen einhüllenden Algebra $U({\mathfrak {g}})$. Obschon sich die Definition des Casimir-Elements auf die direkte Wahl einer Basis in der Lie-Algebra bezieht, ist es einfach zu zeigen, dass das erzeugte Element $\Omega$ davon unabhängig ist. Darüber hinaus impliziert die Invarianz der Bilinearform, die in der Definition benutzt wurde, dass das Casimir-Element mit allen Elementen der Lie-Algebra ${\mathfrak {g}}$ kommutiert und daher im Zentrum der universellen einhüllenden Algebra $U({\mathfrak {g}})$ liegt.

Sei $\rho$ eine beliebige Darstellung der Lie-Algebra ${\mathfrak {g}}$ auf einem (gegebenenfalls unendlichdimensionalen) Vektorraum $V$. Dann ist die korrespondierende quadratische Casimir-Invariante $\rho (\Omega )$ der durch

$\rho (\Omega )=\sum _{i=1}^{n}\rho (X_{i})\rho (X^{i})$

gegebene lineare Operator auf $V$.

Anwendungen

Ein Sonderfall dieser Konstruktion spielt eine wichtige Rolle in der Differentialgeometrie beziehungsweise der globalen Analysis. Operiert eine zusammenhängende Lie-Gruppe $G$ mit zugehöriger Lie-Algebra ${\mathfrak {g}}$ auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$, so werden die Elemente von ${\mathfrak {g}}$ durch Differentialoperatoren erster Ordnung auf $M$ beschrieben. Sei $\rho$ die Darstellung auf dem Raum der glatten Funktionen auf $M$. In diesem Fall ist die durch obige Formel gegebene Casimir-Invariante der $G$-invariante Differentialoperator zweiter Ordnung auf $M$.

Man kann noch allgemeinere Casimir-Invarianten definieren; dies geschieht beispielsweise bei Untersuchungen von Pseudo-Differentialoperatoren in der Fredholm-Theorie.

Literatur

• James E. Humphreys: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, 2. überarbeitete Auflage, Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag, New York, 1978. ISBN 0-387-90053-5