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Drehimpulsoperator ist ein Begriff der Quantenmechanik. Es handelt sich um einen hermiteschen Vektoroperator , dessen Komponenten der folgenden Kommutatorrelation genügen:

ist dabei der Epsilon-Tensor. Das Quadrat des Drehimpulsoperators ist definiert als die Summe der Quadrate seiner Komponenten:

.

Der Drehimpulsoperator spielt eine zentrale Rolle beim Verständnis von Atomen und anderen quantenmechanischen Problemen mit Rotationssymmetrie. Der Bahndrehimpulsoperator ist das quantenmechanische Analogon zum klassischen Drehimpuls. Außerdem gibt es den Spinoperator , der ebenfalls ein Drehimpulsoperator ist, aber kein klassisches Analogon besitzt.

EigenschaftenBearbeiten

In der Folge wird die einsteinsche Summenkonvention verwendet, das heißt, über doppelt auftretende Indizes wird summiert.

Aus der Kommutatorrelation   folgt automatisch:

 

Da die Komponenten des Drehimpulsoperators per Definition nicht vertauschen, geht man häufig zu den gemeinsamen Eigenvektoren von   und einer beliebigen Drehimpulskomponente (üblicherweise  ) über.   bezeichnen die Eigenvektoren der gemeinsamen Basis von   und   und es gelten folgende Eigenwertgleichungen:

 
 

Die Quantenzahl   kann die Werte   und die Quantenzahl   die Werte   annehmen. Somit ist   gleich  -fach entartet.

Die Indizes   und   entsprechen beim Bahndrehimpuls   der Nebenquantenzahl   (  ganzzahlig) bzw. der magnetischen Quantenzahl   des Bahndrehimpulses und analog beim Spin   den beiden Spinquantenzahlen   (  halbzahlig) und  .

Man definiert Leiteroperatoren, mit denen das  -Spektrum zu gegebenen   durchlaufen werden kann:

  • Aufsteigeoperator:  
 
  • Absteigeoperator:  
 

Details zu den Quantenzahlen j und mBearbeiten

Aus   und   werden mittels Leiteroperatoren die möglichen Eigenwerte   und   ermittelt. Zuerst werden verschiedene Kommutatoren mit Leiteroperatoren   bestimmt, die sich auf   zurückführen lassen:

 

Nun soll die Wirkung der Leiteroperatoren auf den Zustand   untersucht werden:

 
 

Bei Anwendung eines Leiteroperators verändert sich   nicht, aber   wird um 1 erhöht oder erniedrigt (deshalb sind die Bezeichnungen Auf- und Absteigeoperator gerechtfertigt). Im nächsten Schritt wird die Konstante   bestimmt. Dazu werden zunächst Produkte aus Leiteroperatoren auf   und   zurückgeführt:

 

Der Kommutator   führt auf   sowie  . Einsetzen liefert:

 

Da alle Eigenzustände normiert sein sollen, ist   die Länge des Vektors   und lässt sich über das Normquadrat bestimmen; dabei wird ausgenutzt, dass Auf- und Absteigeoperator adjungiert zueinander sind  :

 
 

Da die Norm eines Vektors nicht-negativ ist, muss   gelten. Daraus folgt:

 

Wendet man den Aufsteigeoperator auf den höchsten Zustand   an, wird  ; wendet man den Absteigeoperator auf   an wird  . In beiden Fällen bricht die Leiter ab und man erhält den Nullvektor:

 

Durch  -faches Anwenden ( ) des Aufsteigeoperators auf den Zustand mit   gelangt man zu  :

 

Deshalb müssen die möglichen Quantenzahlen   nichtnegativ ganzzahlig oder halbzahlig sein.

BahndrehimpulsoperatorBearbeiten

Eine spezielle Realisierung eines Drehimpulses stellt der Bahndrehimpulsoperator   dar. Dieser ist wie folgt definiert:

 

Dabei ist   der Ortsoperator,   der Impulsoperator und   der  -te Einheitsvektor. Die Quantenzahl wird üblicherweise nicht mit  , sondern mit   bezeichnet. Es gilt   („der Bahndrehimpuls steht senkrecht auf dem Ortsvektor und dem Impulsvektor“). Daraus folgt, dass die Quantenzahlen   ganzzahlig sind:  

Die Eigenvektoren lassen sich in Ortsdarstellung mit den Kugelflächenfunktionen   identifizieren (siehe unten).

Ortsdarstellung des Bahndrehimpulses in kartesischen KoordinatenBearbeiten

Für den Impulsoperator und Ortsoperator gelten in Ortsdarstellung   bzw.  . Dies in   eingesetzt, ergibt mit  :

 
 
 

Ortsdarstellung des Bahndrehimpulses in sphärischen KoordinatenBearbeiten

Mit dem Nabla-Operator bzw. dem Gradienten in Kugelkoordinaten erhält man nach Ausführen der Kreuzprodukte zunächst

 

Die kartesischen Komponenten von   lassen sich nun an den kartesischen Komponenten der Einheitsvektoren   und   ablesen:

 
 
 

An der letzten Zeile erkennt man, dass die  -Komponente des Drehimpulses die Erzeugende einer Drehung (mit Winkel  ) um die  -Achse ist.

 
 
 

Der Operator   entspricht in Ortsdarstellung gerade dem Winkelanteil   des Laplace-Operators (bis auf die Konstante  ). Die Eigenfunktionen des Winkelanteils und somit von   und   sind die Kugelflächenfunktionen  :

 
 

Die Quantenzahlen   und   sind auf ganzzahlige Werte beschränkt:

 

Die Kugelflächenfunktionen bilden ein vollständiges Orthonormalensystem von quadratintegrablen Funktionen auf der Einheitskugel:

 

Erzeugende einer DrehungBearbeiten

Der Operator   drehe die Ortskoordinaten um den Winkel   um die z-Achse:

 

Für infinitesimal kleine Drehwinkel   können die Winkelfunktionen bis zur ersten Ordnung in   um   entwickelt werden (siehe auch: Infinitesimale Drehungen) und ebenso die Wellenfunktion:

 

Im letzten Schritt wurde die Definition der z-Komponente des Drehimpulsoperators verwendet. Da   hermitesch ist, ist der infinitesimale Drehoperator   unitär.

In Kugelkoordinaten lautet eine infinitesimale Drehung um die z-Achse analog zu oben:

 

Um aus einer solchen infinitesimalen Drehung eine endliche Drehung zu erzeugen, betrachte folgenden Grenzübergang:

 

Da sich der Drehoperator   aus unitären Operatoren   zusammensetzt, ist er selbst unitär.

Eine Drehung um eine beliebige Achse   (mit  ) um den Winkel   kann man allgemein schreiben als:

 

SpinoperatorBearbeiten

(siehe auch Spinoperator und Basiszustände für Spin 1/2 im Artikel Spin)

Der Spin ist ein weiterer Freiheitsgrad eines quantenmechanischen Teilchens und beschreibt dessen Drehimpuls in seinem Ruhesystem (Eigendrehimpuls). Bei punktförmigen Teilchen gibt es dafür kein klassisches Analogon (somit auch keine Ortsdarstellung). Der Spinoperator   kommutiert mit allen anderen Freiheitsgraden des Teilchens, z. B. Impulsoperator und Bahndrehimpulsoperator. Anders als der Bahndrehimpuls muss er zum Impulsoperator auch nicht senkrecht stehen. Die Quantenzahlen   und   können ganz- oder halbzahlig sein. Im häufigsten Fall haben sie die Werte:

 

Alle Quarks und Leptonen sind Spin 1/2-Teilchen, ebenso viele zusammengesetzte Teilchen wie Proton und Neutron. Es gibt allerdings auch Teilchen mit anderem Spin, z. B. das Photon und andere Austauschbosonen mit Spin 1, das baryonische Delta mit  =3/2 etc.

Beim Spin 1/2 bezeichnet man die beiden Eigenzustände oft als „Spin up“ und „Spin down“.

 

Diese Zustände erfüllen die Eigenwertgleichungen

 
 

Die Leiteroperatoren haben auf die Eigenzustände die Wirkung:

 
 

Die Spinkomponenten   lassen sich über die Leiteroperatoren ausdrücken:

 

Oft wird die Matrixdarstellung der Operatoren benutzt, wobei den Eigenzuständen folgende Spaltenvektoren (Spinoren) zugeordnet werden:

 
 
 
 

Schließlich werden über die Beziehung

 

die Spinkomponenten mit den Pauli-Matrizen   verknüpft.

Drehimpulsoperator und DrehimpulsvektorBearbeiten

Ausrichtung und RichtungsquantelungBearbeiten

Die Eigenzustände   heißen ausgerichtet zur z-Achse. Der Vektor aus den drei Erwartungswerten   steht hier parallel zur z-Achse. Der Betrag dieses Vektors ist   und erreicht daher auch bei maximaler Ausrichtung ( ) nicht die Länge des Drehimpulsvektors, die durch   gegeben ist. Entsprechend gilt für die Quadrate der Operatoren für die x- und y-Komponente, dass deren Erwartungswerte   nicht kleiner als   werden können. Daher unterscheidet sich der quantenmechanische Drehimpuls von einem der Anschaulichkeit zugänglichen Vektor im dreidimensionalen Raum: Er kann zu keiner Achse parallel liegen in dem Sinn, dass seine Komponente längs dieser Achse genau so groß ist wie sein Betrag oder Länge. Trotzdem wird in physikalischen Texten die maximal mögliche Ausrichtung vereinfacht oft als „Parallelstellung“ bezeichnet.

Für einen Vektor   im dreidimensionalen Raum ergibt sich der Winkelabstand zur z-Achse   aus  , wobei   die Länge des Vektors ist. Dies auf den quantenmechanischen Drehimpuls übertragen, führt zu

 .

Die diskreten Eigenwerte   der z-Komponente kann man sich demnach so veranschaulichen, dass der Drehimpulsvektor in diesen Zuständen nur bestimmte Winkel zur z-Achse einnehmen kann. Dies wird als Richtungsquantelung bezeichnet. Der kleinste mögliche Winkel ist gegeben durch  . Für große Werte des Drehimpulses strebt   gegen Null. Für den kleinsten (nicht verschwindenden) quantenmechanischen Drehimpuls   ist jedoch  , was der anschaulichen Beschreibung als „Parallelstellung“ widerspricht. Dabei hat die zur z-Achse senkrechte Komponente des Drehimpulses in jedem Zustand   einen wohlbestimmten Eigenwert  , wie sich aus   ergibt. Nur ist ihre Richtung in der xy-Ebene vollkommen unbestimmt, denn die Erwartungswerte sowohl der x-Komponente als auch y-Komponente des Drehimpulses für sich allein sind Null.

Anschauliches Verhalten bei Drehungen und SpiegelungBearbeiten

Der Drehimpulsoperator   entspricht in einigen Aspekten dem anschaulichen Bild des klassischen Drehimpulses. Insbesondere verhält er sich bei Drehung des Koordinatensystems genau wie jeder andere Vektor, d. h. seine drei Komponenten   längs der neuen Koordinatenachsen sind Linearkombinationen der drei Operatoren   längs der alten Achsen nach denselben Formeln wie (z. B.) beim klassischen Drehimpulsvektor. Das gilt auch (in einem beliebigen Zustand des betrachteten Systems) für die drei Erwartungswerte  , die zusammen den vektoriellen Erwartungswert von   bilden. Daher bleibt die Länge des Erwartungswerts des Drehimpulsvektors   bei Drehungen des Koordinatensystems (oder des Zustands) gleich.

Bei Spiegelung des Koordinatensystems verhalten sich Drehimpulsoperator   und sein Erwartungswert   ebenfalls genauso wie der mechanische Drehimpulsvektor. Sie bleiben sich nämlich gleich, wie auch alle anderen axialen Vektoren (z. B. Winkelgeschwindigkeit, Magnetfeld, magnetisches Dipolmoment), im Gegensatz zu polaren Vektoren (wie Ortsvektor, Geschwindigkeitsvektor, Impulsvektor), die bei Spiegelung ihr Vorzeichen wechseln. Axiale Vektoren heißen auch Pseudovektoren.

Zustände im Gegensatz zur AnschauungBearbeiten

Der Betrag des Erwartungswert-Vektors   bleibt zwar bei allen Drehungen und Spiegelungen des Systems gleich, es gibt aber für Quantenzahlen   Zustände zur selben Quantenzahl, bei denen der Vektor eine andere Länge hat, und die demnach nicht durch Drehung und Spiegelungen ineinander überführt werden können. Z. B. ist in einem Zustand   der Erwartungswert   und sein Betrag  . Das kann je nach Wert von   verschiedene Werte ergeben, außer in den Fällen   und  . Für   ergibt sich die Länge   zu Null. Die Länge Null ergibt sich für den Erwartungswert des Drehimpulsvektors auch bei Zuständen wie  , sofern   und   sich um mehr als   unterscheiden und damit für die Erwartungswerte weiterhin   gilt. In solchen Zuständen zeigt das System ein sog. „alignment“, zu deutsch „Ausrichtung“ (wobei das deutsche Wort aber oft ganz allgemein für den Fall benutzt wird, dass das System anhand seiner Eigenzustände   in Bezug auf eine vorher gewählte z-Achse betrachtet werden soll).

Im Fall   gilt (s. Abschnitt „Spin 1/2 und dreidimensionaler Vektor“ im Artikel Spin), dass in jedem möglichen gegebenen Zustand der Erwartungswert des Drehimpulsoperators die Länge   hat und sich eine Richtung im Raum angeben lässt, nach der diesem Zustand die Quantenzahl   zuzuordnen ist.

Addition von DrehimpulsenBearbeiten

Man geht von zwei Drehimpulsoperatoren   und   aus, die jeweils die Quantenzahlen   und   bzw.   und   besitzen. Jeder dieser Drehimpulse hat seinen eigenen Eigenraum, der durch die Eigenvektoren   zu   bzw.   zu   aufgespannt wird. Die Drehimpulse vertauschen untereinander  .

Nun koppeln die einzelnen Drehimpulse zu einem Gesamtdrehimpuls:

 

Somit gilt automatisch  . Die Zustände des Gesamtsystems bilden den Produktraum (tensorielles Produkt) der Zustände der Einzelsysteme. Darin bilden die Produkte der Basiszustände   der Einzelsysteme eine Basis:

 

Allerdings sind dies (meistens) keine Eigenvektoren des Gesamtdrehimpulses  , so dass er in dieser Basis keine Diagonalgestalt besitzt. Daher geht man über vom vollständigen Satz kommutierender Operatoren   mit den Eigenzuständen   zum vollständigen Satz kommutierender Operatoren   mit den Eigenzuständen  . In der neuen Basis hat der Gesamtdrehimpuls wieder eine einfache Diagonalgestalt:

 
 

Die Quantenzahlen zum Gesamtdrehimpuls   und   können folgende Werte annehmen:

 
 .

Den Übergang von der Produktbasis   in die Eigenbasis   geschieht über folgende Entwicklung (Ausnutzen der Vollständigkeit der Produktbasis):

 

Dabei sind   die Clebsch-Gordan-Koeffizienten.

Spin-Bahn-KopplungBearbeiten

Hauptartikel: Spin-Bahn-Kopplung

Es wird ein 1/2-Spin mit einem Bahndrehimpuls gekoppelt.

 

Die Spinquantenzahlen sind auf   und   beschränkt, die Bahndrehimpulsquantenzahlen sind   und  . Somit kann die Gesamtdrehimpulsquantenzahl   nur die folgenden Werte annehmen:

  • für  :  
  • für  :  .

Jeder Zustand der Gesamtdrehimpulsbasis   setzt sich aus genau zwei Produktbasiszuständen zusammen. Zu gegebenen   kann nur   sein.

    für    
    für    

Aus der Forderung der Orthonormiertheit der Zustände sind die Koeffizienten festgelegt:

    für    

Als Beispiel soll der Bahndrehimpuls   mit einem Spin   gekoppelt werden. Im Folgenden schreibe abkürzend   und für die Produktbasis  .

Für   gibt es ein Quartett:

 
 
 
 

Für   gibt es ein Dublett:

 
 

Spin-Spin-KopplungBearbeiten

Im Folgenden werden zwei 1/2-Spins gekoppelt.

 

Die Spinquantenzahlen sind auf   und   beschränkt. Somit können die Gesamtspinquantenzahlen   und   nur die folgenden Werte annehmen:

  •   dann  
  •   dann  

Im Folgenden schreibe abkürzend   und für die Produktbasis  

Für   gibt es ein Triplett:

 
 
 

Für   gibt es ein Singulett:

 

LiteraturBearbeiten

  • Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 5/2. Quantenmechanik – Methoden und Anwendungen. Springer Verlag, ISBN 3540260358