Strukturkonstante

Strukturkonstanten enthalten in der Mathematik die gesamten Informationen einer (endlichdimensionalen) Lie-Algebra und somit insbesondere alle lokalen Informationen jeder ihr zugeordneten Lie-Gruppe.

DefinitionBearbeiten

Sei   eine endlichdimensionale Lie-Algebra mit der Lie-Klammer   und sei   eine Vektorraumbasis dieser Lie-Algebra. Da in Vektorräumen jedes Element als Linearkombination bezüglich einer Basis darstellbar ist, existiert für alle   die Zerlegung

 

der Lie-Klammer der Lie-Algebra. Die   Konstanten   (d. h. aus der Menge der komplexen Zahlen) heißen Strukturkonstanten der Lie-Algebra.

EigenschaftenBearbeiten

  • Antisymmetrie
Die Strukturkonstanten sind aufgrund der Antisymmetrie der Lie-Klammer antisymmetrisch in den unteren Indizes;
 
Daraus folgt für Strukturkonstanten mit identischen unteren Indizes  .
  • Jacobi-Identität
Aufgrund der Jacobi-Identität für die Lie-Klammer folgt eine Jacobi-Identität für die Strukturkonstanten:
 
  • Tensorstruktur
Die Strukturkonstanten sind  -Tensoren. Das heißt, bei einem Basiswechsel   gilt:
 

BeispielBearbeiten

Als Beispiel für Strukturkonstanten sei die in der Physik wichtige Lie-Algebra   in der Basis der Pauli-Matrizen   gegeben. Die Lie-Klammer in dieser Darstellung ist der Kommutator und es gilt

 

mit dem total antisymmetrischen Levi-Civita-Symbol  .

LiteraturBearbeiten