Diagonalisierbare Matrix

Matrix, die zu einer Diagonalmatrix ähnlich ist

Als diagonalisierbare Matrix bezeichnet man im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra eine quadratische Matrix, die ähnlich zu einer Diagonalmatrix ist. Sie lässt sich mittels eines Basiswechsels (also der Konjugation mit einer regulären Matrix) in eine Diagonalmatrix transformieren.[1] Das Konzept lässt sich auf Endomorphismen übertragen.

DefinitionBearbeiten

DiagonalmatrixBearbeiten

Eine quadratische Matrix   über einem Körper  , deren Elemente   mit   alle gleich Null sind, heißt Diagonalmatrix. Häufig schreibt man dafür

 .

Diagonalisierbare MatrixBearbeiten

Eine quadratische  -dimensionale Matrix   heißt diagonalisierbar oder diagonalähnlich, wenn es eine Diagonalmatrix   gibt, zu der sie ähnlich ist, das heißt, es existiert eine reguläre Matrix  , so dass gilt   bzw.  .

Ein Endomorphismus   über einem endlichdimensionalen Vektorraum   heißt diagonalisierbar, falls eine Basis   von   existiert, bezüglich der die Abbildungsmatrix   eine Diagonalmatrix ist.

Unitär diagonalisierbare MatrixBearbeiten

Eine Matrix   ist genau dann unitär diagonalisierbar, falls eine unitäre Transformationsmatrix   existiert, sodass   eine Diagonalmatrix ist, wobei   die zu   adjungierte Matrix ist.

Daraus folgt für eine reellwertige Matrix   die unitäre Diagonalisierbarkeit, falls eine orthogonale Transformationsmatrix   existiert, sodass   eine Diagonalmatrix ist, wobei   die zu   transponierte Matrix ist.

In einem endlichdimensionalen Prähilbertraum   ist ein Endomorphismus   genau dann unitär diagonalisierbar, wenn eine Orthonormalbasis   von   existiert, sodass die Abbildungsmatrix   eine Diagonalmatrix ist.

Weitere Charakterisierungen der DiagonalisierbarkeitBearbeiten

Sei   eine  -dimensionale Matrix mit Einträgen aus einem Körper  . Jede der folgenden sechs Bedingungen wird genau dann erfüllt, wenn   diagonalisierbar ist.

  1. Das Minimalpolynom   zerfällt vollständig in paarweise verschiedene Linearfaktoren:   mit  
  2. Das charakteristische Polynom   zerfällt vollständig in Linearfaktoren und die geometrische Vielfachheit entspricht der algebraischen Vielfachheit für jeden Eigenwert  .
  3. Es gibt eine Basis für  , die aus Eigenvektoren für   besteht.
  4. Die Summe der Dimensionen der jeweiligen Eigenräume ist gleich  :  , wobei   das Spektrum bezeichnet.
  5.   ist die direkte Summe der jeweiligen Eigenräume:  .
  6. Alle Jordanblöcke der Jordanschen Normalform   haben die Dimension 1.

Sind   und   mit den gewünschten Eigenschaften gefunden, so gilt, dass die Diagonaleinträge von  , nämlich  , Eigenwerte von   zu gewissen Einheitsvektoren   sind. Dann ist  . Die   sind also Eigenvektoren von  , und zwar jeweils zum Eigenwert  .

Da   invertierbar sein soll, ist   zudem linear unabhängig.

Zusammenfassend ergibt sich daraus die notwendige Bedingung, dass eine  -dimensionale diagonalisierbare Matrix   linear unabhängige Eigenvektoren haben muss. Der Raum, auf dem sie operiert, besitzt also eine Basis aus Eigenvektoren der Matrix. Diese Bedingung ist aber auch hinreichend, denn aus   gefundenen linear unabhängigen Eigenvektoren von   mit den dazugehörigen Eigenwerten lassen sich geeignete   und   ganz direkt konstruieren.

Das Problem reduziert sich damit auf das Auffinden von   linear unabhängigen Eigenvektoren von  .

Eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung für Diagonalisierbarkeit ist, dass das charakteristische Polynom   vollständig in Linearfaktoren zerfällt: So ist   nicht diagonalisierbar, obwohl  . Eine hinreichende, aber nicht notwendige Bedingung für Diagonalisierbarkeit ist, dass   vollständig in paarweise verschiedene Linearfaktoren zerfällt: So ist   diagonalisierbar, obwohl  .

Eigenschaften einer diagonalisierbaren MatrixBearbeiten

Ist eine Matrix diagonalisierbar, so ist die geometrische Vielfachheit ihrer Eigenwerte gleich der jeweiligen algebraischen Vielfachheit. Das bedeutet, die Dimension der einzelnen Eigenräume stimmt jeweils mit der algebraischen Vielfachheit der entsprechenden Eigenwerte im charakteristischen Polynom der Matrix überein.

Die Matrixpotenz einer diagonalisierbaren Matrix   lässt sich berechnen durch

 

Die Potenz einer Diagonalmatrix erhält man durch Potenzieren der Diagonalelemente.

DiagonalisierungBearbeiten

Ist eine Matrix   diagonalisierbar, existiert eine Diagonalmatrix  , für die die Ähnlichkeitsbedingung erfüllt ist:

 

Zur Diagonalisierung dieser Matrix berechnet man die Diagonalmatrix   und eine zugehörige Basis aus Eigenvektoren. Dies geschieht in drei Schritten:

  1. Es werden die Eigenwerte   der Matrix   bestimmt. (Einzelne Eigenwerte können dabei mehrfach vorkommen.)
  2. Es werden die Eigenräume   zu allen Eigenwerten   berechnet, also Gleichungssysteme der folgenden Form gelöst
     .
  3. Weil die geometrische Vielfachheit gleich der algebraischen Vielfachheit jedes Eigenwerts ist, können wir zu jeder maximalen Menge   übereinstimmender Eigenwerte eine Basis   von   finden.
  4. Nun ist die Diagonalform   der Matrix   bezüglich der Basis  :
     
     

Simultane DiagonalisierungBearbeiten

Gelegentlich will man auch zwei Matrizen   mit derselben Transformation   diagonalisieren. Falls das gelingt, gilt   und   und da   und   Diagonalmatrizen sind,

 .

Also müssen die Endomorphismen miteinander kommutieren. In der Tat gilt auch die Umkehrung: Kommutieren zwei diagonalisierbare Endomorphismen, so können sie simultan diagonalisiert werden. In der Quantenmechanik gibt es für zwei solche Operatoren dann eine Basis aus gemeinsamen Eigenzuständen.

BeispielBearbeiten

Sei   die zu diagonalisierende Matrix.   ist (unitär) diagonalisierbar, da   symmetrisch ist, d. h. es gilt  .

Die Eigenwerte   von   lassen sich durch die Nullstellen des charakteristischen Polynoms   bestimmen:

 

Also  . Der Eigenwert 2 hat algebraische Vielfachheit  , da er doppelte Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist.

Zum Bestimmen der Eigenräume setze man die Eigenwerte in   ein.

Um alle   mit   zu erhalten, fassen wir die erweiterte Koeffizientenmatrix   als lineares Gleichungssystem mit unendlichen Lösungen auf.

Für   erhalten wir  , mit dem gaußschen Eliminationsverfahren erhalten wir   und somit als Lösungsmenge den Eigenraum:

 ,

wobei   die lineare Hülle bezeichnet.

Für   erhalten wir  , daraus   und somit als Lösungsmenge den Eigenraum:

 .

Die Eigenvektoren   erhalten wir aus den Basen der Eigenräume, sie bilden eine Basis von  .

Wenn wir   normieren erhalten wir mit   und   eine Orthonormalbasis, da   symmetrisch und die Eigenvektoren der halbeinfachen Eigenwerte orthogonal zueinander sind (in dem Fall  ).

Es gilt also  . Daraus erhalten wir unter der Nutzung der Eigenschaften von Orthonormalbasen die Inverse  .

  bestimmt sich durch  .

Somit erhalten wir für  

 

und damit die Diagonalisierung

 .

Siehe auchBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lehrbuch der Mathematik, Band 2: Lineare Algebra. BI-Wissenschafts-Verlag, Mannheim u. a. 1990, ISBN 3-411-14101-8.