Halbeinfache Lie-Algebra

Halbeinfache Lie-Algebren werden in der mathematischen Theorie der Lie-Algebren untersucht. Die endlichdimensionalen, halbeinfachen, komplexen Lie-Algebren lassen sich vollständig klassifizieren. Sie setzen sich aus einfachen Lie-Algebren zusammen, woher ihr Name resultiert. Diese Theorie geht im Wesentlichen auf Arbeiten von Wilhelm Killing und Élie Cartan Ende des 19. Jahrhunderts zurück. Die heute zur Klassifikation verwendeten Dynkin-Diagramme wurden 1947 von Eugene Dynkin eingeführt. Wesentliche Teile der Theorie finden sich im Standardwerk von James E. Humphreys über Darstellungen von Lie-Algebren aus dem Jahre 1972,[1] dort fehlt die Beschreibung der sogenannten exzeptionellen Lie-Algebren. Diese kann man in einem älteren Lehrbuch von Richard D. Schafer über nicht-assoziative Algebren aus dem Jahre 1966 finden.[2] Das unten angegebene Lehrbuch von Roger Carter enthält eine modernere, leicht zugängliche Darstellung.[3]

Definitionen und CharakterisierungenBearbeiten

Wir betrachten hier endlichdimensionale Lie-Algebren   über einem algebraisch abgeschlossenen Körper   der Charakteristik  , der Körper   der komplexen Zahlen ist das prominenteste Beispiel. Manche der folgenden Ausführungen kommen mit schwächeren Voraussetzungen an den Grundkörper aus, aber an einigen Stellen der Theorie benötigt man die Existenz von Eigenwerten und daher die algebraische Abgeschlossenheit, und die Division durch ganze Zahlen und daher die Charakteristik  .

Es gibt eine Reihe äquivalenter Möglichkeiten, halbeinfache Lie-Algebren zu definieren.[4] Eine Lie-Algebra heißt einfach, falls sie nicht abelsch ist und außer dem Nullraum und sich selbst keine weiteren Ideale enthält. Die namensgebende Definition lautet:

  • Eine Lie-Algebra heißt halbeinfach, wenn sie eine direkte Summe einfacher Ideale ist.

Eine alternative Beschreibung verwendet das Radikal   einer Lie-Algebra  , das sich als größtes auflösbares Ideal in   definieren lässt.

  • Eine Lie-Algebra ist genau dann halbeinfach, wenn ihr Radikal der Nullraum ist.

Daraus ergibt sich sofort

  • Eine Lie-Algebra ist genau dann halbeinfach, wenn sie keine vom Nullraum verschiedenen auflösbaren Ideale enthält.
  • Eine Lie-Algebra ist genau dann halbeinfach, wenn sie keine vom Nullraum verschiedenen abelschen Ideale enthält.

Ist   die adjungierte Darstellung, die jedes   auf den durch   definierten Endomorphismus auf   abbildet, so wird durch   eine symmetrische Bilinearform auf   definiert, die nach Wilhelm Killing benannte Killing-Form.

  • Eine Lie-Algebra ist genau dann halbeinfach, wenn ihre Killing-Form nicht-ausgeartet ist.

Dieses Cartan-Kriterium ist prinzipiell ein Verfahren zur Überprüfung der Halbeinfachheit, auch wenn dies im Einzelfall sehr mühsam sein kann. Man bestimme die Killing-Form, genauer die darstellende Matrix bzgl. einer Basis. Die Lie-Algebra ist genau dann halbeinfach, wenn die Determinante dieser Matrix nicht 0 ist.

BeispieleBearbeiten

Das einfachste Beispiel ist die dreidimensionale, spezielle, lineare Lie-Algebra

 

mit der Basis

 .

Bezüglich der angegebenen Basis haben die Adjungierten der Basis-Elemente folgende Matrix-Darstellungen, die wir als Gleichheit schreiben:  .

Dies liest man aus den Kommutatorbeziehungen der Basis-Elemente ab. Da zum Beispiel

 ,

ergibt sich die erste Spalte der Matrix-Darstellung von   usw. Die darstellende Matrix der Killing-Form besteht definitionsgemäß aus den Spuren aller möglichen Produkte dieser 3er-Matrizen und man erhält nach einiger Rechnung   mit Determinante −128. Also ist   nach dem Killing-Form Kriterium halbeinfach. Man kann leicht zeigen, dass   sogar einfach ist, was die aufwändige Rechnung einsparen würde, aber wir werden dieses Beispiel unten noch einmal aufgreifen.

Da wir im Rahmen der Klassifikation alle halbeinfachen Lie-Algebren angeben werden, erübrigen sich hier weitere Beispiele.

Die allgemeine lineare Lie-Algebra   ist nicht halbeinfach, denn die Vielfachen der Einheitsmatrix bilden ein abelsches Ideal. Dieses ist gleich dem Radikal dieser Algebra.

Grundlegende EigenschaftenBearbeiten

Zunächst kann man aus jeder Lie-Algebra eine halbeinfache konstruieren:

  • Für jede Lie-Algebra   ist die Quotientenalgebra   halbeinfach.

Die obige Liste der äquivalenten Charakterisierungen stellt gleichzeitig eine Liste von Eigenschaften halbeinfacher Lie-Algebren dar. Weitere Eigenschaften einer halbeinfachen Lie-Algebra   sind:[4]

  • Ideale und homomorphe Bilder sind wieder halbeinfach.
  • Das Zentrum von   ist der Nullraum, denn das Zentrum ist ein abelsches Ideal.
  •  , das heißt, die von allen Produkten erzeugte Unteralgebra fällt mit der Algebra selbst zusammen.
  • Nach dem Satz von Weyl ist jede endlichdimensionale Darstellung von   vollständig reduzibel.
  •  , das heißt, die Lie-Algebra der Derivationen auf   stimmt mit dem Bild der adjungierten Darstellung überein, kurz alle Derivationen auf   sind inner.
  • Die Cartan-Unteralgebren von   sind genau die maximalen Unteralgebren aus diagonalisierbaren Elementen. Diese Unteralgebren sind abelsch.[5]

KlassifikationBearbeiten

EinleitungBearbeiten

Im Folgenden betrachten wir nur Lie-Algebren über einem algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik 0. Die endlichdimensionalen, halbeinfachen unter ihnen lassen sich vollständig klassifizieren. Dazu wird jeder solchen Algebra ein geometrisches Objekt, ein sogenanntes reduziertes Wurzelsystem, zugeordnet. Dabei handelt es sich um ein endliches Erzeugendensystem eines euklidischen Vektorraums mit einschränkenden Bedingungen für Winkel und Längenverhältnisse unter den erzeugenden Vektoren. Dann zeigt man, dass durch dieses Wurzelsystem die Isomorphie-Klasse der halbeinfachen Lie-Algebra eindeutig bestimmt ist und dass es zu jedem solchen Wurzelsystem eine zugehörige halbeinfache Lie-Algebra gibt. Die einfachen Lie-Algebren, die nach obiger Definition ja die Bausteine der halbeinfachen bilden, lassen sich alle angeben; es handelt sich um vier unendliche Reihen einfacher Lie-Algebren sowie um fünf weitere, sogenannte exzeptionelle, Lie-Algebren. Jede endlichdimensionale, halbeinfache Lie-Algebra ist isomorph zu einer endlichen direkten Summe solcher einfacher Lie-Algebren.

Konstruktion des WurzelsystemsBearbeiten

Zu einer endlichdimensionalen, halbeinfachen Lie-Algebra   konstruieren wir wie folgt ein reduziertes Wurzelsystem. Man wähle eine Cartan-Unteralgebra   von  . Alle Elemente aus   sind simultan diagonalisierbar, das heißt es gibt endlich viele lineare Funktionale   auf  , für die   nicht der Nullraum ist, und   ist die Vektorraumsumme dieser  . Die vom Nullfunktional verschiedenen Funktionale   bilden ein endliches Erzeugendensystem   im Dualraum von  . Das  -Erzeugnis   von   trägt die zur auf   nicht-ausgearteten Killing-Form duale Bilinearform  . Beachte, dass   als Körper der Charakteristik 0 den Primkörper   enthält. Diese Bilinearform lässt sich zu einer positiv definiten symmetrischen Bilinearform auf den  -Vektorraum   erweitern, ebenso wie alle  , deren Erweiterungen mit demselben Namen bezeichnet seien. Man kann zeigen, dass   ein reduziertes Wurzelsystem bilden.[6]

BeispielBearbeiten

Zur Verdeutlichung der angegebenen Konstruktion greifen wir obiges Beispiel der   noch einmal auf.   ist eine Cartan-Unteralgebra, die Diagonalisierbarkeit von   liest man mühelos an obiger Matrix-Darstellung ab. Da   eindimensional ist und   die Eigenwerte 2, 0 und −2 hat, sind die   genau für die Funktionale  ,   und   vom Nullraum verschieden, es ist also  . Damit besteht das Wurzelsystem aus einem Vektor zusammen mit seinem Negativen. Das ist ohnehin klar, wenn man weiß, dass dies bis auf Isomorphie das einzige eindimensionale, reduzierte Wurzelsystem ist.

Unabhängigkeit von der Cartan-UnteralgebraBearbeiten

Ist   ein Lie-Algebren-Isomorphismus,   wie oben, so ist   ebenfalls eine Cartan-Unteralgebra und obige Konstruktion für   liefert ein isomorphes Wurzelsystem, im Wesentlichen weil man   durch die gesamte Konstruktion ziehen kann.

Die Konstruktion eines Wurzelsystems verwendet aber die Wahl einer Cartan-Unteralgebra  . Damit man hier eine nur von   abhängige Isomophie-Invariante erhält, muss man zeigen, dass jede andere Cartan-Unteralgebra zu einem isomorphen Wurzelsystem führt. Hier hilft der sogenannte Konjugationssatz weiter, für den keine Halbeinfachheit erforderlich ist:

  • Für eine endlich-dimensionale Lie-Algebra über einem algebraisch abgeschlossenen Körper sind alle Cartan-Unteralgebren zueinander konjugiert.

Ist also   neben   eine weitere Cartan-Unteralgebra, so gibt es einen Isomorphismus  , sogar eine Konjugation, mit  , und die eingangs gemachte Bemerkung zeigt, dass die Wahlen   bzw.   zu isomorphen Wurzelsystemen führen.

Fazit: Die oben beschriebene Konstruktion eines reduzierten Wurzelsystems ist eine Isomorphie-Invariante der Lie-Algebra  , das heißt, isomorphe, endlichdimensionale, halbeinfache Lie-Algebren haben isomorphe Wurzelsysteme.[7]

Der IsomorphiesatzBearbeiten

 
Die Dynkin-Diagramme sind den Wurzelsystemen zugeordnete Graphen.

Bislang wissen wir, dass isomorphe, endlichdimensionale, halbeinfache Lie-Algebren isomorphe reduzierte Wurzelsysteme besitzen. Der sogenannte Isomorphiesatz sagt aus, dass umgekehrt zwei endlichdimensionale, halbeinfache Lie-Algebren mit isomorphen reduzierten Wurzelsystemen ihrerseits isomorph sind (beachte die Annahmen über den Grundkörper).

Die reduzierten Wurzelsysteme kennt man aber alle. Sie zerfallen in irreduzible Komponenten, das heißt Zusammenhangskomponenten der zugehörigen Dynkin-Diagramme, und diese korrespondieren zu einfachen direkten Summanden der Lie-Algebra. Die irreduziblen, reduzierten Wurzelsysteme kann man aufzählen. Wie im Artikel über Wurzelsysteme ausgeführt, sind dies

 .

In der nebenstehenden Skizze sind die zugehörigen Dynkin-Diagramme angegeben. Genauer werden durch die Kürzel Isomorphieklassen von Wurzelsystemen definiert; man sagt daher auch, ein Wurzelsystem sei vom angegebenen Typ. Auch eine Lie-Algebra mit entsprechendem Wurzelsystem heißt Lie-Algebra dieses Typs. Damit ist jede endlichdimensionale, halbeinfache Lie-Algebra isomorph zu einer direkten Summe einfacher Ideale, deren Typen in obiger Liste vorkommen.[8]

Der ExistenzsatzBearbeiten

Nach dem bisher Gesagten wissen wir, dass die reduzierten Wurzelsysteme endlichdimensionaler, einfacher Lie-Algebren von oben aufgelisteten Typen sein müssen. Umgekehrt stellt sich natürlich die Frage, ob es zu jedem Typ eines reduzierten Wurzelsystems tatsächlich eine passende einfache Lie-Algebra gibt. Diese Frage wird durch den sogenannten Existenzsatz positiv beantwortet.

Nach einem auf Serre zurückgehenden Verfahren kann man mittels freier Lie-Algebren, wobei dann auch unendlichdimensionale Algebren vorkommen, und auf ihnen erklärter Relationen, das sind zwischen den Erzeugern der freien Algebra bestehende Gleichungen, die Existenz der gesuchten Lie-Algebren nachweisen. Die Relationen ergeben sich aus den Wurzelsystemen, sie erzeugen ein Ideal in einer gewissen freien Lie-Algebra und man muss schließlich zeigen, dass die Quotientenalgebra eine endlichdimensionale, halbeinfache Lie-Algebra mit dem vorgegebenen Wurzelsystem ist.[9]

Was nun noch fehlt ist eine konkrete Realisierung dieser einfachen Lie-Algebren, deren vollständige Angabe natürlich ebenfalls den Existenzsatz beweist. Für die vier Reihen   ist das sehr einfach, die exzeptionellen Lie-Algebren   ergeben sich aus Algebren von Derivationen auf anderen exzeptionellen, nicht-assoziativen Algebren, genauer auf gewissen Jordan-Algebren und auf der Cayley-Algebra. Nach Angabe dieser Liste kann man bis auf Isomorphie alle endlichdimensionalen, halbeinfachen Lie-Algebren hinschreiben.

Die klassischen AlgebrenBearbeiten

Die einfachen Lie-Algebren zu den Wurzelsystemen   nennt man die klassischen Algebren. Diese können leicht angegeben werden.[10]

 

ist mit der Kommutatorklammer eine  -dimensionale, einfache Lie-Algebra vom Typ  , das heißt, das zugehörige reduzierte Wurzelsystem ist von diesem Typ. Man nennt sie die spezielle lineare Algebra, da sie die Lie-Algebra zur speziellen linearen Gruppe ist. Der Fall   ist das oben vorgestellte Beispiel.

Es sei   die  -Einheitsmatrix, 0 bezeichne eine Nullmatrix jeweils passender Größe und   stehe für die Transponierte einer Matrix  .

 

heißt orthogonale Algebra und ist mit der Kommutatorklammer eine einfache  -dimensionale, einfache Lie-Algebra vom Typ  .

 

heißt symplektische Algebra und ist mit der Kommutatorklammer eine einfache  -dimensionale, einfache Lie-Algebra vom Typ  .

 

heißt orthogonale Algebra und ist mit der Kommutatorklammer eine einfache  -dimensionale, einfache Lie-Algebra vom Typ  . Die hier erneut verwendete Bezeichnung als orthogonale Algebra birgt keine Verwechslungsgefahr, da die Größen der auftretenden Matrizen jeweils gerade bzw. ungerade sind.

Die exzeptionellen AlgebrenBearbeiten

Wir beginnen mit dem einfacheren Fall der Lie-Algebra vom Typ  .

  • Bezeichnet   die Cayley-Algebra über  , so ist die Algebra   der Derivationen auf   eine 14-dimensionale einfache Lie-Algebra vom Typ  .[11][12]

Die Angabe der exzeptionellen Lie-Algebren zu   ist aufwändiger, da hier exzeptionelle Jordan-Algebren ins Spiel kommen. Die Involution auf der Cayley-Algebra   sei mit einem Querstrich bezeichnet. Dann definiere

 ,

das ist der 27-dimensionale Raum der „hermiteschen“ 3er-Matrizen über  . Das Jordan-Produkt

 

macht diesen Raum zu einer mit   bezeichneten Jordan-Algebra. Das ist nicht selbstverständlich, da der Raum der 3er-Matrizen über   nicht assoziativ ist. (Man kann zeigen, dass   exzeptionell ist, das heißt, nicht isomorph zu einer Jordan-Algebra ist, die sich von einer assoziativen Algebra herleitet.) Hiermit können wir den nächsten exzeptionellen Lie-Typ realisieren:

  • Die Algebra   der Derivationen auf   ist mit der Kommutatorklammer eine 52-dimensionale, einfache Lie-Algebra vom Typ  .[13]

Wir vergrößern nun  . Für   bezeichne   die Rechtsmultiplikation mit  , das heißt  , wobei hier das Jordan-Produkt verwendet wird. Weiter sei   die Menge aller Elemente aus   mit Spur 0, das heißt, für die in oben verwendeter Definition   gilt.

  • Die Summe   in   ist mit der Kommutatorklammer eine 78-dimensionale, einfache Lie-Algebra vom Typ  .[14]

Für die 133-dimensionale, einfache Lie-Algebra vom Typ   und die 248-dimensionale, einfache Lie-Algebra vom Typ   wird auf das unten angegebene Lehrbuch von Richard D. Schafer bzw. auf die dort angegebene Literatur verwiesen.

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. James E. Humphreys: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Springer, Berlin/ New York 1972, ISBN 0-387-90053-5.
  2. Richard D. Schafer: An Introduction to Nonassociative Algebras. Courier Dover Publications 1966, ISBN 0-486-68813-5 (frei verfügbar im Project Gutenberg).
  3. Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge University Press (2005), ISBN 978-0-521-85138-1
  4. a b James E. Humphreys: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Springer, Berlin/ New York 1972, ISBN 0-387-90053-5, Kapitel II: Semisimple Lie Algebras.
  5. James E. Humphreys: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Springer, Berlin/ New York 1972, ISBN 0-387-90053-5, Kapitel III, 15.3: Cartan subalgebras.
  6. James E. Humphreys: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Springer, Berlin/ New York 1972, ISBN 0-387-90053-5, Kap II, 8: Root space decomposition.
  7. James E. Humphreys: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Springer, Berlin/ New York 1972, ISBN 0-387-90053-5, Kapitel IV, 16: Conjugacy theorems.
  8. James E. Humphreys: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Springer, Berlin/ New York 1972, ISBN 0-387-90053-5, Kapitel IV, 14.2: Isomorphism theorem.
  9. James E. Humphreys: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Springer, Berlin/ New York 1972, ISBN 0-387-90053-5, Kapitel V, 18.3 : Serre's Theorem.
  10. James E. Humphreys: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Springer, Berlin/ New York 1972, ISBN 0-387-90053-5, Kapitel V, 19.2: The classical algebras.
  11. James E. Humphreys: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Springer, Berlin/ New York 1972, ISBN 0-387-90053-5, Kapitel V, 19.3: The algebra G2.
  12. Richard D. Schafer: An Introduction to Nonassociative Algebras. Courier Dover Publications, 1966, ISBN 0-486-68813-5, Kapitel III,8 :Derivations; Simple Lie Algebras of Type G.
  13. Richard D. Schafer: An Introduction to Nonassociative Algebras. Courier Dover Publications, 1966, ISBN 0-486-68813-5, Kapitel IV, Theorem 4.9.
  14. Richard D. Schafer: An Introduction to Nonassociative Algebras. Courier Dover Publications, 1966, ISBN 0-486-68813-5, Kapitel IV, 4: Simple Lie Algebras of Type E6.