Universelle einhüllende Algebra

Die universelle einhüllende Algebra (auch universelle Einhüllende) ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Theorie der Lie-Algebren. Sie ist eine assoziative Algebra, die zeigt, dass man die Lie-Klammer stets als Kommutator auffassen kann, auch bei Lie-Algebren, die nicht von einer assoziativen Algebra herkommen.

DefinitionBearbeiten

Es sei   eine Lie-Algebra (über einem Körper). Eine universelle einhüllende Algebra   von   besteht aus einer unitären assoziativen Algebra und einem Liealgebrenhomomorphismus   (dabei sei die Liealgebrastruktur auf assoziativen Algebren durch den Kommutator gegeben), so dass gilt:

Ist   eine unitäre assoziative Algebra, so stehen die Liealgebrahomomorphismen   in Bijektion mit den unitären Algebrenhomomorphismen  . Diese Bijektion wird durch den Homomorphismus   vermittelt.

EigenschaftenBearbeiten

  • Die wichtigste Aussage über universelle einhüllende Algebren ist der Satz von Poincaré-Birkhoff-Witt (nach Henri Poincaré, Garrett Birkhoff und Ernst Witt; auch als PBW abgekürzt): Ist   eine Basis von   und   die kanonische Abbildung, so bilden die Monome
  mit  
eine Basis von  .
  • Insbesondere ist   injektiv, und jede Lie-Algebra ist Unteralgebra einer assoziativen Algebra.
  • Moduln unter einer Lie-Algebra sind dasselbe wie Moduln unter ihrer universellen einhüllenden Algebra.

KonstruktionBearbeiten

Man kann die universelle Einhüllende explizit angeben als Quotienten der Tensoralgebra   nach dem zweiseitigen Ideal, das von Elementen der Form

 

für   erzeugt wird. Man beachte: Im Unterschied zu den entsprechenden Konstruktionen der äußeren Algebra oder symmetrischen Algebra ist dieses Ideal nicht homogen,   trägt also keine induzierte Graduierung.

BeispieleBearbeiten

  • Ist   abelsch, so ist die universelle einhüllende Algebra isomorph zur symmetrischen Algebra über  .