Halbring (Mengensystem)

Mengensystem in der Maßtheorie

Ein (Mengen-)Halbring, auch (Mengen-)Semiring genannt, ist ein spezielles Mengensystem in der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, welches die Grundlage für die moderne Integrationstheorie und Stochastik bildet.

Aufgrund ihrer guten Handhabbarkeit werden Halbringe beispielsweise als Definitionsbereiche von Inhalten verwendet, die dann schrittweise zu Maßen erweitert werden. Ebenso sind sie beliebte Erzeuger von σ-Algebren, insbesondere der Borelschen σ-Algebra, da nach dem Maßeindeutigkeitssatz ein Maß durch seine Werte auf einem Halbring bereits auf der erzeugten σ-Algebra eindeutig festgelegt ist.

Die Definition wurde von John von Neumann als Verallgemeinerung eines Mengenrings eingeführt.[1] Der hier verwendete Begriff des Halbrings unterscheidet sich grundlegend von dem eines Halbrings im Sinne der Algebra, also einer speziellen algebraischen Struktur. Beide stehen nicht in engem Zusammenhang!

DefinitionBearbeiten

Sei   eine beliebige Menge. Ein Mengensystem   von Teilmengen von   heißt ein Mengenhalbring oder Halbring über  , wenn folgende drei Eigenschaften erfüllt sind:[2]

  1.   enthält die leere Menge:  
  2.   ist durchschnittsstabil, das heißt, wenn   und  , so ist auch  
  3. Die Differenz zweier Mengen   aus   lässt sich als endliche Vereinigung von paarweise disjunkten Mengen aus   darstellen. Es existieren also immer paarweise disjunkte Mengen   aus  , sodass
 .

BeispieleBearbeiten

Über jeder beliebigen Menge   ist   der kleinste und die Potenzmenge   der größte mögliche Mengenhalbring. Beide enthalten trivialerweise die leere Menge. Der Halbring   ist schnittstabil, da die leere Menge mit sich selbst geschnitten wieder die leere Menge ist. Dasselbe gilt für die Differenz der leeren Menge mit sich selbst. Die Aussagen für   folgen aus der Tatsache, dass die Potenzmenge alle Teilmengen enthält und daher stabil gegenüber allen Mengenoperationen ist.

Ein in der Anwendung wichtiger Halbring über den reellen Zahlen   ist das Mengensystem der endlichen, rechts halboffenen Intervalle

 .

Halbringe dieser Art werden häufig als Erzeuger für die Borelsche σ-Algebra auf   gewählt, teils mit leichten Abwandlungen (links offene, rechts geschlossene Intervalle, nur rationale Grenzen etc.).

Halbringe dieser Art lassen sich auch auf dem   formulieren, wo sie ebenfalls als Erzeuger für die Borelsche σ-Algebra auf   dienen. Setzt man für   und   als Intervalle

 

und definiert

  genau dann, wenn   für alle  ,

so ist

 

ein Halbring, der aus  -dimensionalen endlichen, rechts halboffenen Intervallen (Quadern) besteht. Ein Spezialfall hiervon sind die dyadischen Elementarzellen. Hier liegen die Eckpunkte der Intervalle alle auf einem Gitter.

EigenschaftenBearbeiten

Aus der Durchschnittsstabilität folgt induktiv, dass auch jeder nichtleere, endliche Durchschnitt von Elementen des Mengenhalbrings   in ihm enthalten ist, d. h., für alle   gilt:

 

Mengenhalbringe treten insbesondere als Erzeugendensysteme von σ-Algebren auf. Aufgrund der Durchschnittsstabilität der Halbringe folgt dabei nach dem Dynkinschen π-λ-Satz, dass die von einem Halbring erzeugte σ-Algebra gleich dem erzeugten Dynkin-System ist, es gilt also

 .

Ebenso sind daher nach dem Maßeindeutigkeitssatz Maße bereits durch die Angabe ihrer Werte auf dem Halbring eindeutig bestimmt.

OperationenBearbeiten

Schnitte von HalbringenBearbeiten

Im Gegensatz zu den meisten Mengensystemen der Maßtheorie ist der Schnitt von Halbringen, also das Mengensystem

 

im Allgemeinen kein Halbring. Gegenbeispiel sind die Halbringe

 

und

 .

Dann ist

 

kein Halbring.

Produkte von HalbringenBearbeiten

Definiert man für zwei Mengensysteme   und   auf   und   das Produkt dieser Mengensysteme als

 ,

so ist das Produkt von zwei Halbringen wieder ein Halbring. Denn sind   Halbringe und   sowie  , so sind   und   in   enthalten. Da aber

 

gilt,   in   liegt und   in  , ist  , das Produkt ist also schnittstabil. Eine analoge Überlegung unter Verwendung von

 

liefert die Differenzeigenschaft eines Halbringes für die Produkte. Beispiel für die Stabilität von Halbringen unter Produktbildung sind die Mengensysteme der halboffenen Intervalle im obigen Beispiel, für die   gilt.

Für viele weitere Mengensysteme der Maßtheorie wie Ringe, Algebren und σ-Algebren gilt im Allgemeinen nicht, dass ein Produkt dieser Mengensysteme wieder ein Mengensystem gleicher Art ist. Enthalten Mengensysteme jedoch jeweils einen Halbring, so ist das Produkt stets mindestens ein Halbring. Typisches Beispiel hierfür sind Ringe oder Algebren. Der als Produkt entstehende Halbring wird dann teils als Erzeugendensystem genutzt, um wieder ein Mengensystem mit entsprechender Struktur zu erhalten, das die kartesischen Produkte aller Mengen in den einzelnen Mengensystemen enthaltener Mengen enthält. Beispiel hierfür wäre die Produkt-σ-Algebra oder das hier definierte Produkt von Ringen  .

Spur eines HalbringsBearbeiten

Die Spur eine Halbrings   bezüglich einer Menge  , also das Mengensystem

 

ist immer ein Halbring, unabhängig von der Wahl von  .

Äquivalente DefinitionenBearbeiten

  sei ein System von Teilmengen von  . Wenn   Mengen sind und wenn   die symmetrische Differenz von   bezeichnet, dann sind wegen   und   sowie   folgende Aussagen äquivalent:

  •   ist ein Mengenhalbring.
  •   ist ein Halbverband und es gilt:   Es gibt paarweise disjunkte   mit  
  •   und es gilt:   und es existiert ein endliches Teilsystem   dessen Elemente paarweise disjunkt sind, mit  .   kann hierbei auch leer sein.
  •   und es gilt:   und es gibt paarweise disjunkte   mit  
  •   und es gilt:   und falls   gilt, gibt es paarweise disjunkte   mit  

Außerdem ergibt sich induktiv:

  •   sind paarweise disjunkt  

Halbringe im engeren SinneBearbeiten

Manche Autoren nennen das oben definierte Mengensystem einen Semiring/Halbring im weiteren Sinne (i. w. S.) und definieren noch einen Semiring/Halbring im engeren Sinne (i. e. S.) als eine Mengensystem  ,[3]

  1. das die leere Menge enthält,
  2. das schnittstabil ist,
  3. in dem gilt, dass für alle   mit   ein   existiert, sodass paarweise disjunkte   aus   existieren, für die
 
gilt und zusätzlich
 
für alle  .

Verwandte MengensystemeBearbeiten

MengenringeBearbeiten

Jeder Mengenring ist ein Mengenhalbring, jedoch ist nicht jeder Mengenhalbring ein Mengenring: Über der Grundmenge   ist das Mengensystem   ein Halbring, aber kein Mengenring, da es nicht differenzstabil ist. Verwendet man einen Halbring   als Erzeuger eines Ringes, so hat der erzeugte Ring die Form

 .

Semi-AlgebrenBearbeiten

Per Definition ist jeder Halbring (im engeren Sinn / im weiteren Sinn) genau dann eine Semialgebra (im engeren Sinn / im weiteren Sinn), wenn er die Obermenge   enthält. Beispiel für einen Halbring, der keine Semialgebra ist, wäre somit der Halbring

 

auf der Grundmenge  .

Weitere MengensystemeBearbeiten

Da jeder Mengenring ein Halbring ist, sind Mengenalgebren, σ-Ringe, δ-Ringe und σ-Algebren immer auch Halbringe, da sie alle auch Ringe sind. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht, wie das obige Beispiel zeigt.

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2009, S. 20.
  2. Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2009, S. 20.
  3. Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1, S. 13, doi:10.1007/978-3-642-45387-8.