Mengenverband

In der Mathematik ist ein Mengenverband ein Grundbegriff der Maßtheorie und der Verbandstheorie. Er bezeichnet ein nicht leeres Mengensystem, das vereinigungs- und durchschnittsstabil ist.

Felix Hausdorff nannte aufgrund „einer ungefähren Analogie“ zur algebraischen Struktur eines Ringes in der algebraischen Zahlentheorie einen Mengenverband „Ring“.^[1] Unter einem Ring versteht man heute in der Maßtheorie jedoch einen speziellen Mengenverband, weil dieser in einem engen Zusammenhang zu einem Ring im Sinne der Algebra steht – im Unterschied zu einem allgemeinen Mengenverband.

Definition

Sei $\Omega$ eine beliebige Menge. Ein System ${\mathcal {V}}$ von Teilmengen von $\Omega$ heißt ein Mengenverband oder Verband über $\Omega$ , wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:

${\mathcal {V}}\neq \emptyset$ ( ${\mathcal {V}}$ ist nicht leer).
$A,B\in {\mathcal {V}}\Rightarrow A\cup B\in {\mathcal {V}}$ (Stabilität/Abgeschlossenheit bezüglich Vereinigung).
$A,B\in {\mathcal {V}}\Rightarrow A\cap B\in {\mathcal {V}}$ (Stabilität/Abgeschlossenheit bezüglich Durchschnitt).

Beispiele

Über jeder beliebigen Menge $\Omega$ ist mit $\{A\},A\subseteq \Omega ,$ ein kleinster und mit der Potenzmenge ${\mathcal {P}}(\Omega )$ der größte mögliche Mengenverband gegeben.
Jede σ-Algebra ist ein Mengenverband (aber nicht jeder Mengenverband ist eine σ-Algebra).

Eigenschaften

Aus der Vereinigungs- sowie Durchschnittsstabilität folgt jeweils induktiv, dass auch jede nicht leere, endliche Vereinigung und jeder nicht leere, endliche Durchschnitt von Elementen des Mengenverbandes ${\mathcal {V}}$ in ihm enthalten ist, d. h. für alle $n\in \mathbb {N}$ gilt:

A_{1},\dots ,A_{n}\in {\mathcal {V}}\Rightarrow A_{1}\cup \dots \cup A_{n}\in {\mathcal {V}}

und

A_{1}\cap \dots \cap A_{n}\in {\mathcal {V}}.

Äquivalente Definitionen

Wenn ${\mathcal {V}}$ ein System von Teilmengen von $\Omega$ ist, dann sind folgende Aussagen äquivalent:

${\mathcal {V}}$ ist ein Mengenverband.
$({\mathcal {V}},\cup )$ und $({\mathcal {V}},\cap )$ sind Halbverbände im Sinne der Algebra.
$({\mathcal {V}},\cup ,\cap )$ ist ein Verband im Sinne der Algebra.
$({\mathcal {V}},\cup ,\cap )$ ist ein distributiver Verband im Sinne der Algebra.
$({\mathcal {V}},\cup ,\cap )$ ist ein idempotenter kommutativer Halbring im Sinne der Algebra.^[2]
$({\mathcal {V}},\cup ,\cap )$ ist ein Halbring im Sinne der Algebra.

Siehe auch

Mengenlehre

Literatur

Marcel Erné: Einführung in die Ordnungstheorie. Bibliographisches Institut, Mannheim 1982, ISBN 3-411-01638-8.
U. Hebisch, H. J. Weinert: Halbringe – Algebraische Theorie und Anwendungen in der Informatik. Teubner, Stuttgart 1993, ISBN 3-519-02091-2.
Ernst Henze: Einführung in die Maßtheorie. 2. überarb. Auflage. Bibliographisches Institut, Mannheim/Zürich 1985, ISBN 3-411-03102-6.
Hans Hermes: Einführung in die Verbandstheorie. 2. erw. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 1967.

Anmerkungen und Einzelnachweise

↑ Felix Hausdorff: Grundzüge der Mengenlehre. Veit & Comp., Leipzig 1914, S. 14. Hausdorff bezeichnete dabei die Vereinigung als „Summe“.
↑ Der hier verwendete Begriff des Halbringes unterscheidet sich grundlegend von dem eines (Mengen-)Halbringes im Sinne der Maßtheorie, also eines speziellen Mengensystems, beide stehen nicht im Zusammenhang!

[1] Felix Hausdorff: Grundzüge der Mengenlehre. Veit & Comp., Leipzig 1914, S. 14. Hausdorff bezeichnete dabei die Vereinigung als „Summe“.

[2] Der hier verwendete Begriff des Halbringes unterscheidet sich grundlegend von dem eines (Mengen-)Halbringes im Sinne der Maßtheorie, also eines speziellen Mengensystems, beide stehen nicht im Zusammenhang!

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