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Monotone Klasse

Mengensystem in der Maßtheorie

Eine monotone Klasse,[1] auch monotones System genannt,[2] ist ein Mengensystem mit speziellen Eigenschaften, welches in der Maßtheorie verwendet wird, um darauf weitere, komplexere Mengensysteme aufzubauen.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

Sei  eine nicht leere Menge. Eine nicht leere Teilmenge   von   heißt monotone Klasse,

wenn der Grenzwert jeder monoton auf- oder absteigenden Mengenfolge von Mengen aus   wieder in   enthalten ist.

Voll ausgeschrieben bedeutet dies:

  • sind   Mengen aus   mit
 ,
dann ist auch
  in  
  • sind   Mengen aus   mit
 ,
dann ist auch
  in  

Erzeugte monotone KlasseBearbeiten

 
Hierarchie der in der Maßtheorie verwendeten Mengensysteme

Schnitte von beliebig vielen monotonen Klassen sind wieder monotone Klassen. Somit lässt sich für ein beliebiges Mengensystem   die durch   erzeugte monotone Klasse definieren als

 .

Dies lässt sich als Hüllenoperator interpretieren.

Beziehung zu anderen MengensystemenBearbeiten

  • Jede monotone Klasse, die die Obermenge   enthält und für die gilt: sind   in der monotonen Klasse enthalten, so ist auch   in der monotonen Klasse enthalten, ist ein Dynkin-System.
  • Die von einer Algebra erzeugte monotone Klasse entspricht der von der Algebra erzeugten σ-Algebra.

Ringe und σ-RingeBearbeiten

Jeder Ring, der eine monotone Klasse ist, ist ein σ-Ring (und damit auch ein δ-Ring). Denn sind die Mengen   im Ring enthalten, so ist auch

 

aufgrund der Eigenschaften des Ringes wieder im Mengensystem enthalten. Die Mengen   bilden aber eine monoton wachsende Mengenfolge, daher ist ihr Grenzwert

 

aufgrund der Eigenschaften der monotonen Klasse auch im Mengensystem enthalten, dieses ist also abgeschlossen bezüglich abzählbaren Vereinigungen. Somit ist die von einem Ring erzeugte monotone Klasse immer ein σ-Ring.

Umgekehrt ist jeder σ-Ring aufgrund seiner Stabilität unter abzählbaren Vereinigungen und Schnitten immer eine monotone Klasse.

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2009, S. 23.
  2. Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. 2014, S. 21.

Siehe auchBearbeiten