Monotone Mengenfolge

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Eine monotone Mengenfolge ist eine spezielle Mengenfolge, bei der spezielle Inklusionsbeziehungen gelten. Ist eine Menge mit kleinerem Index immer in einer Menge mit größerem index enthalten, so nennt man die Folge eine monoton wachsende Mengenfolge. Enthält eine Menge mit kleinerem Index immer in einer Menge mit größerem index, so nennt man die Folge eine monoton fallende Mengenfolge. Monotone Mengenfolgen lassen sich als Spezialfall einer monotonen Abbildung auffassen.

DefinitionBearbeiten

Eine Mengenfolge   heißt

  • Monoton wachsend oder monoton steigend, wenn   gilt.
  • Monoton fallend, wenn   gilt.
  • Monoton, wenn sie entweder monoton wachsend oder monoton fallend ist.

Teilweise findet sich auch die Bezeichnung einer monoton aufsteigenden Mengenfolge oder einer monoton absteigenden Mengenfolge.

BeispieleBearbeiten

  • Die Mengenfolge definiert durch
 
ist eine monoton wachsende Mengenfolge, da jede Menge   alle Elemente der Menge   enthält.
  • Die Mengenfolge   ist monoton wachsend. Dies folgt direkt aus der Monotonie der reellen Folge  .
  • Genauso ist die Mengenfolge   monoton fallend.

EigenschaftenBearbeiten

  • Jede monoton wachsende Mengenfolge konvergiert, es ist dann
 .
Man schreibt dann auch  .
  • Jede monoton fallende Mengenfolge konvergiert, es ist dann
 .
Man schreibt dann auch  .

VerwendungBearbeiten

Monotone Mengenfolgen werden beispielsweise in der Maßtheorie verwendet, um Mengensysteme wie monotone Klassen zu definieren.

LiteraturBearbeiten

  • Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 2009, ISBN 978-3-540-89727-9.