Hilbert-Schmidt-Operator

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In der Mathematik ist ein Hilbert-Schmidt-Operator (nach David Hilbert und Erhard Schmidt) ein stetiger linearer Operator auf einem Hilbertraum, für den eine gewisse Zahl, die Hilbert-Schmidt-Norm, endlich ist. Die Hilbert-Schmidt-Klasse, das heißt die Menge all dieser Operatoren, bildet mit der Hilbert-Schmidt-Norm eine Banachalgebra, die gleichzeitig ein Hilbertraum ist. Hilbert-Schmidt-Operatoren können durch unendlich-dimensionale Matrizen charakterisiert werden.

Motivation und DefinitionBearbeiten

Seien   und   zwei Orthonormalbasen im Hilbertraum  .   sei ein stetiger linearer Operator auf  . Dann gilt

 .

Indem man zwei gleiche Orthonormalbasen,  , verwendet, zeigt diese Rechnung, dass die linke Seite unverändert bleibt, wenn man   durch   ersetzt. Das gilt dann auch für die rechte Seite. Ersetzt man dort   durch   bei unterschiedlichen Orthonormalbasen und beachtet  , so erkennt man, dass die Größe   unabhängig von der gewählten Orthonormalbasis ist. Ist diese Größe endlich, so heißt   ein Hilbert-Schmidt-Operator und

 

ist seine Hilbert-Schmidt-Norm. Statt   findet man auch die Schreibweise  .

Die Hilbert-Schmidt-Klasse, das heißt die Menge aller Hilbert-Schmidt-Operatoren auf  , ist hinsichtlich der algebraischen Operationen Addition, Multiplikation und dem Adjungieren abgeschlossen. Sie ist also eine Algebra und wird mit   bezeichnet.

Ein Operator   zwischen zwei Hilberträumen heißt Hilbert-Schmidt-Operator, wenn   für eine Orthonormalbasis   von   endlich ist. Ähnlich wie oben überlegt man sich, dass diese Zahl von der speziellen Wahl der Orthonormalbasis unabhängig ist, und bezeichnet die Wurzel aus dieser Zahl ebenfalls mit  .

Unendliche MatrizenBearbeiten

Legt man eine Orthonormalbasis fest, so kann man jeden stetigen linearen Operator auf   als unendliche Matrix   mit   auffassen.   ist durch diese Matrix und die gewählte Orthonormalbasis eindeutig bestimmt, denn   wird auf   abgebildet. Es gilt  . Daher sind die Hilbert-Schmidt-Operatoren genau diejenigen stetigen, linearen Operatoren, deren Matrixkoeffizienten quadratisch summierbar sind. Mit Hilfe der Hölder-Ungleichung ergibt sich die Submultiplikativität der Hilbert-Schmidt-Norm, das heißt  . Die Hilbert-Schmidt-Norm verallgemeinert daher die Frobeniusnorm auf den Fall unendlich-dimensionaler Hilberträume.

IntegraloperatorenBearbeiten

Viele fredholmsche Integraloperatoren sind Hilbert-Schmidt-Operatoren. Sei nämlich   ein beschränkter Operator von   nach  , dann kann gezeigt werden, dass   genau dann ein Hilbert-Schmidt-Operator ist, wenn es einen Integralkern   gibt mit

 

fast überall. In diesem Fall stimmen die Hilbert-Schmidt-Norm von   und die  -Norm von   überein, es gilt also

 

Eine analoge Aussage gilt auch für beliebige Maßräume anstatt des Einheitsintervalls.

HS(H) als HilbertraumBearbeiten

Das Produkt zweier Hilbert-Schmidt-Operatoren ist stets ein Spurklasse-Operator. Sind   und   zwei Hilbert-Schmidt-Operatoren, so ist daher durch   ein Skalarprodukt auf dem Raum der Hilbert-Schmidt-Operatoren definiert.   wird mit diesem Skalarprodukt ein Hilbertraum und es ist  , d. h. die Hilbert-Schmidt-Norm ist eine Hilbertraumnorm. Im endlichdimensionalen Fall entspricht dieses Hilbert-Schmidt-Skalarprodukt dem Frobenius-Skalarprodukt für Matrizen.

HS(H) als BanachalgebraBearbeiten

Die Operatoren-Algebra   ist mit der Hilbert-Schmidt-Norm nicht nur ein Hilbertraum, sondern wegen der Ungleichung   gleichzeitig eine Banachalgebra.   ist ein zweiseitiges Ideal in der Algebra   aller stetigen, linearen Operatoren auf H, und es gilt   für alle  ,  . Jeder Hilbert-Schmidt-Operator ist ein kompakter Operator. Daher ist   auch ein zweiseitiges Ideal in der C*-Algebra   der kompakten Operatoren auf  ,   liegt dabei dicht in   bzgl. der Operatornorm. Die Spurklasse   ist als zweiseitiges, dichtes Ideal in   enthalten. Man hat daher die Inklusionen

 .

Außer   und sich selbst enthält   keine weiteren  -abgeschlossenen zweiseitigen Ideale. Die Algebra der Hilbert-Schmidt-Operatoren ist in diesem Sinne einfach, sie bildet den Grundbaustein der Strukturtheorie der H*-Algebren.

Siehe auchBearbeiten

  • Die Hilbert-Schmidt-Operatoren bilden einen Spezialfall einer Schatten-Klasse.

LiteraturBearbeiten