Hölder-Ungleichung

mathematischer Satz

In der mathematischen Analysis gehört die Höldersche Ungleichung zusammen mit der Minkowski-Ungleichung und der jensenschen Ungleichung zu den fundamentalen Ungleichungen für Lp-Räume. Sie wurde zuerst von Leonard James Rogers im Jahre 1888 bewiesen, benannt ist sie nach Otto Hölder, der sie ein Jahr später veröffentlichte[1].

AussageBearbeiten

Höldersche UngleichungBearbeiten

Gegeben sei ein Maßraum   und messbare Funktionen

 

Für   und mit der Konvention   definiert man

 

und

 

das wesentliche Supremum. Die Hölder-Ungleichung lautet dann: für   mit  , wobei   vereinbart ist, gilt

 

Man bezeichnet   als den zu   konjugierten Hölder-Exponenten. Spezieller wird die Ungleichung auch wie folgt formuliert: Ist   der Raum der  -fach Lebesgue-integrierbaren Funktionen (siehe Lp-Raum) und ist   die Lp-Norm, so gilt für   immer

 .

SpezialfälleBearbeiten

Schwarzsche UngleichungBearbeiten

Wählt man als Maßraum  , also ein reelles Intervall versehen mit dem Lebesgue-Maß und zwei Funktionen  , so lautet die Hölder-Ungleichung mit  

 

Dies ist genau die Schwarzsche Ungleichung beziehungsweise die Integralformulierung der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung.

Cauchy-UngleichungBearbeiten

Wählt man als Maßraum die endliche Menge  , versehen mit der Potenzmenge und ausgestattet mit dem Zählmaß, so erhält man als Spezialfall die Ungleichung

 

gültig für alle reellen (oder komplexen) Zahlen  . Für   erhält man die Cauchy-Ungleichung (beziehungsweise die diskrete Formulierung der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung)

 

Höldersche Ungleichung für ReihenBearbeiten

Wählt man als Grundmenge des Maßraumes die natürlichen Zahlen  , wieder versehen mit der Potenzmenge und dem Zählmaß, so erhält man die Höldersche Ungleichung für Reihen

 .

für reelle oder komplexe Folgen  . Im Grenzfall   entspricht dies

 .

VerallgemeinerungBearbeiten

Es seien   sowie   und   für alle  .

Dann folgt

 

und es gilt die Abschätzung

 

Als Korollar dieser Verallgemeinerung ergibt sich der folgende Satz.

Falls   eine Familie von   Folgen nicht-negativer reeller Zahlen ist, und   nicht-negative reelle Zahlen mit   sind, so gilt

 

Umgekehrte Höldersche UngleichungBearbeiten

Es sei   für fast alle  .

Dann gilt für alle   die umgekehrte Höldersche Ungleichung

 

BeweiseBearbeiten

Beweis der Hölderschen UngleichungBearbeiten

Für   (und umgekehrt) ist die Aussage der Hölderschen Ungleichung trivial. Wir nehmen daher an, dass   gilt. Ohne Einschränkung seien   und  . Nach der youngschen Ungleichung gilt:

 

für alle  . Setze hierin speziell   ein. Integration liefert

 

was die Höldersche Ungleichung impliziert.

Beweis der VerallgemeinerungBearbeiten

Der Beweis wird per vollständiger Induktion über   geführt. Der Fall   ist trivial. Sei also nun   und ohne Einschränkung sei  . Dann sind zwei Fälle zu unterscheiden:

Fall 1:   Dann ist   Nach Induktionsvoraussetzung gilt dann

 

Fall 2:  . Nach der (üblichen) Hölderschen Ungleichung für die Exponenten   gilt

 

also  . Nun ist  . Aus der Induktionsvoraussetzung ergibt sich somit der Induktionsschritt.

Beweis der umgekehrten Hölderschen UngleichungBearbeiten

Die umgekehrte Höldersche Ungleichung ergibt sich aus der (üblichen) Hölderschen Ungleichung, indem man als Exponenten   und   wählt. Man erhält damit:

 

Umstellen und potenzieren dieser Ungleichung mit   liefert die umgekehrte Höldersche Ungleichung.

AnwendungenBearbeiten

Beweis der Minkowski-UngleichungBearbeiten

Mit der Hölderschen Ungleichung kann man die Minkowski-Ungleichung (das ist die Dreiecksungleichung im  ) leicht beweisen.

Interpolationsungleichung für Lebesgue-FunktionenBearbeiten

Seien   und  , dann folgt   und es gilt die Interpolationsungleichung

 

mit   beziehungsweise   für  .

Beweis: Ohne Einschränkung sei  . Fixiere   mit  . Beachte, dass   und   konjugierte Hölder-Exponenten sind. Aus der Hölderschen Ungleichung folgt

 .

Potenzieren der Ungleichung mit   und Ausrechnen der Exponenten impliziert die Interpolationsungleichung.

Beweis der Faltungsungleichung von YoungBearbeiten

Eine weitere typische Anwendung ist der Beweis der verallgemeinerten youngschen Ungleichung (für Faltungsintegrale)

 

für   und  .

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2009, S. 277.