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Lp-Raum

spezielle mathematische Räume, die aus allen p-fach integrierbaren Funktionen bestehen
(Weitergeleitet von L²-Norm)

Die -Räume, auch Lebesgue-Räume, sind in der Mathematik spezielle Räume, die aus allen p-fach integrierbaren Funktionen bestehen. Das L in der Bezeichnung geht auf den französischen Mathematiker Henri Léon Lebesgue zurück, da diese Räume über das Lebesgue-Integral definiert werden. Im Fall Banachraum-wertiger Funktionen (wie im Folgenden allgemein für Vektorräume dargestellt) bezeichnet man sie auch als Bochner-Lebesgue-Räume.[1] Das in der Bezeichnung ist ein reeller Parameter: Für jede Zahl ist ein -Raum definiert. Die Konvergenz in diesen Räumen wird als Konvergenz im p-ten Mittel bezeichnet.

Inhaltsverzeichnis

DefinitionBearbeiten

  mit HalbnormBearbeiten

Sei   ein Maßraum,   und  . Dann ist die folgende Menge ein Vektorraum:

 

Die durch

 

gegebene Abbildung ist für alle   eine Halbnorm auf  . Die Dreiecksungleichung für diese Halbnorm wird Minkowski-Ungleichung genannt und kann mit Hilfe der Hölder-Ungleichung bewiesen werden.

Genau dann ist   eine Norm auf  , wenn die leere Menge die einzige Nullmenge in   ist. Gibt es nämlich eine Nullmenge  , so ist die charakteristische Funktion   ungleich der Nullfunktion, aber es gilt  .

  mit NormBearbeiten

Um auch im Fall einer Halbnorm   zu einem normierten Raum zu kommen, identifiziert man Funktionen miteinander, wenn sie fast überall gleich sind. Formal bedeutet das: Man betrachtet den (von   unabhängigen) Untervektorraum

 

und definiert den Raum   als den Faktorraum  . Zwei Elemente von   sind also genau dann gleich, wenn   gilt, also wenn   und   fast überall gleich sind.

Der Vektorraum   ist durch   normiert. Die Normdefinition hängt nicht von dem Repräsentanten aus   ab, das heißt, für Funktionen   in der gleichen Äquivalenzklasse gilt  . Das begründet sich damit, dass das Lebesgue-Integral invariant gegenüber Änderungen des Integranden auf Nullmengen ist.

Der normierte Vektorraum   ist vollständig und damit ein Banachraum, die Norm   wird Lp-Norm genannt.

Auch wenn man von sogenannten  -Funktionen spricht, handelt es sich dabei um die gesamte Äquivalenzklasse einer klassischen Funktion. Allerdings liegen im Falle des Lebesgue-Maßes auf dem   zwei verschiedene stetige Funktionen nie in der gleichen Äquivalenzklasse, so dass der  -Begriff eine natürliche Erweiterung des Begriffs stetiger Funktionen darstellt.

Sonderfall p = ∞Bearbeiten

Auch für   kann man mithilfe des wesentlichen Supremums (in Zeichen:  ) einen  -Raum definieren, den Raum der wesentlich beschränkten Funktionen. Hierfür gibt es verschiedene Möglichkeiten, die aber für σ-endliche Maßräume alle zusammenfallen. Am verbreitetsten ist:

 ;

dabei ist

 

Betrachtet man analog zu oben  , erhält man wieder einen Banachraum.

BeispieleBearbeiten

Lebesgue-Räume bezüglich des Lebesgue-MaßesBearbeiten

Ein sehr wichtiges Beispiel von  -Räumen ist durch einen Maßraum   gegeben,   ist dann die borelsche σ-Algebra  , und   das Lebesgue-Maß  . In diesem Zusammenhang wird die kürzere Notation   benutzt.

Der Folgenraum ℓpBearbeiten

Betrachtet man den Maßraum  , wobei hier also   als die Menge   der natürlichen Zahlen,   deren Potenzmenge und   als das Zählmaß gewählt wurde, dann besteht der Raum   aus allen Folgen   mit

 

für   bzw.

 

für  .

Dieser Raum wird mit   bezeichnet. Die Grenzfälle   und   sind der Raum der absolut summierbaren Zahlenfolgen und der Raum der beschränkten Zahlenfolgen. Für alle   gilt  .

Allgemeiner ℓp-RaumBearbeiten

Völlig analog kann man zu einer beliebigen Indexmenge   den Maßraum mit dem Zählmaß betrachten. In diesem Fall nennt man den  -Raum  , es gilt

 ,

wobei die Konvergenz der Summe implizieren möge, dass nur abzählbar viele Summanden ungleich null sind (siehe auch unbedingte Konvergenz).

Sobolev-Räume quadratintegrierbarer FunktionenBearbeiten

Wählt man  ,   als die borelsche σ-Algebra und  , wobei   und   das  -dimensionale Borel-Lebesgue-Maß ist, dann erhält man den Maßraum  . Der Lebesgue-Raum   der bezüglich dieses Maßes quadratintegrierbaren Funktionen ist ein echter Unterraum des Raums   der temperierten Distributionen. Er wird unter der Fourier-Transformation   bijektiv auf den Raum   der quadratintegrierbaren Sobolev-Funktionen zur Differentiationsordnung  , ebenfalls ein echter Unterraum von  , abgebildet. Dabei überführt die Fourier-Transformation die entsprechenden Normen ineinander:

 

Für   sind obige Räume dichte Teilräume von  , sodass man in diesem Fall auch die Fourier-Transformation auf   statt auf   betrachten kann.

Wichtige EigenschaftenBearbeiten

VollständigkeitBearbeiten

Nach dem Satz von Fischer-Riesz sind die  -Räume vollständig für alle  , also Banachräume.

EinbettungenBearbeiten

Ist   ein endliches Maß, gilt also  , so gilt   für   (folgt aus der Ungleichung der verallgemeinerten Mittelwerte)

Für allgemeine Maße gilt für   stets  . Dies wird auch als konvexe oder Hölder-Interpolation bezeichnet.

Dichtheit und SeparabilitätBearbeiten

Sei   ein separabler Messraum,   ein Maß auf   und  , dann ist   separabel.[2] Der Raum   ist hingegen im Allgemeinen nicht separabel.

Sei   offen. Für   liegt der Testfunktionenraum   dicht in  .[3]

KompaktheitBearbeiten

Der Satz von Kolmogorow-Riesz beschreibt präkompakte bzw. kompakte Mengen in Lp-Räumen.

Dualräume und ReflexivitätBearbeiten

Für   sind die Dualräume der  -Räume wieder Lebesgue-Räume. Konkret gilt

 

worin   durch   definiert ist, außerdem ist der kanonische, isometrische Isomorphismus

 

gegeben durch

 

Daraus folgt, dass für   die  -Räume reflexiv sind.

Für   ist   zu   isomorph (der Isomorphismus analog zu oben), falls   σ-endlich oder allgemeiner lokalisierbar ist. Ist   nicht  -endlich, so lässt sich   (wieder unter demselben Isomorphismus) als der Banachraum der lokal messbaren lokal im Wesentlichen beschränkten Funktionen darstellen.

Die Räume   und   sind nicht reflexiv.

Der Hilbertraum L2Bearbeiten

DefinitionBearbeiten

Der Raum   hat eine besondere Rolle unter den  -Räumen. Dieser ist nämlich selbst-dual und lässt sich als einziger mit einem Skalarprodukt versehen und wird somit zu einem Hilbertraum. Sei dazu wie oben   ein Maßraum,   ein Hilbertraum (häufig   mit dem Skalarprodukt  ) und

 .

Dann definiert

 

ein Skalarprodukt auf  . Die von diesem Skalarprodukt induzierte Norm ist die oben definierte  -Norm mit  

 .

Da diese Funktionen der Norm nach zum Quadrat integrierbar sind, werden die  -Funktionen auch quadratintegrierbare bzw. quadratisch integrierbare Funktionen genannt. Handelt es sich hierbei speziell um die Elemente des Folgenraums  , so spricht man in der Regel von den quadratisch summierbaren Folgen. Dieser Hilbertraum spielt eine besondere Rolle in der Quantenmechanik.

BeispielBearbeiten

Die Funktion  , welche durch   definiert ist, ist eine  -Funktion mit  -Norm:

 

Die Funktion ist aber keine  -Funktion, weil

 

Andere Beispiele für  -Funktionen sind die Schwartz-Funktionen.

Erweiterter HilbertraumBearbeiten

Wie weiter oben schon erwähnt, sind die  -Räume vollständig. Also ist der Raum   mit dem Skalarprodukt wirklich ein Hilbertraum. Der Raum der Schwartz-Funktionen   und der Raum der glatten Funktionen mit kompaktem Träger (ein Teilraum des Schwartz-Raums)   liegen dicht in   Daher erhält man die Inklusionen

 

und

 

Dabei wird mit   der entsprechende topologische Dualraum bezeichnet, insbesondere heißt   Raum der Distributionen und   Raum der temperierten Distributionen. Die Paare

  und  

sind Beispiele für erweiterte Hilberträume.

Bochner-Lebesgue-RäumeBearbeiten

Die Bochner-Lebesgue-Räume sind eine Verallgemeinerung der bisher betrachteten Lebesgue-Räume. Sie umfassen im Gegensatz zu den Lebesgue-Räumen banachraumwertige Funktionen.

DefinitionBearbeiten

Sei   ein Banachraum und   ein Maßraum. Für   definiert man

 ,

wobei sich „messbar“ auf die borelsche σ-Algebra der Normtopologie von   bezieht. Die Abbildung

 

ist ebenfalls eine Halbnorm auf  , wenn   gilt. Die Bochner-Lebesgue-Räume   sind nun genauso wie die Lebesgue-Räume als Faktorraum definiert.

EigenschaftenBearbeiten

Für die Bochner-Lebesgue-Räume gelten ebenfalls die Aussagen, die unter Eigenschaften aufgeführt sind. Nur bei den Dualräumen gibt es einen Unterschied. Für alle   gilt nämlich

 

wobei   durch   definiert ist und   den Dualraum von   bezeichnet. Entsprechend sind Bochner-Lebesgue-Räume nur dann reflexiv, wenn der Banachraum   reflexiv ist.[4] Ebenso sind die Bochner-Lebesgue-Räume nur separabel, wenn der Zielraum   separabel ist.

Beispiel: ZufallsvariableBearbeiten

In der Stochastik betrachtet man  -Räume, die mit einem Wahrscheinlichkeitsmaß   ausgestattet sind. Unter einer Zufallsvariable versteht man dann eine messbare Funktion  . Weiter ist der Erwartungswert für quasiintegrierbare   als

 

definiert. Zufallsvariablen, die  -Funktionen sind, besitzen also einen endlichen Erwartungswert. Des Weiteren sind Zufallsvariablen genau dann in  , wenn man ihnen eine Varianz zuweisen kann. Da das für praktische Anwendungen häufig gefordert ist, sind  -Räume gerade in der Stochastik wichtig.

Den Lebesgue-Räumen verwandte RäumeBearbeiten

Oftmals betrachtet man auch  -Funktionen für   Außerdem werden in der Funktionalanalysis die Sobolev-Räume und die Hardy-Räume untersucht, welche man als Spezialfälle der  -Räume verstehen kann und in der Differentialgeometrie gibt es auf Mannigfaltigkeiten eine Verallgemeinerung der  -Räume.

Lp für p < 1Bearbeiten

 
Ein Kreis bzgl. (2/3)-Quasinorm in zwei Dimensionen, d. h. in  , mit   Zählmaß, ist eine Astroide. Die Kreisscheibe ist nicht konvex.

Es gibt auch die Verallgemeinerung der  -Räume   bzw.   für  . Diese sind allerdings keine Banachräume mehr, weil die entsprechende Definition keine Norm liefert. Immerhin sind diese Räume vollständige topologische Vektorräume[5][6] mit der Quasinorm

 

bzw. der Pseudonorm oder Fréchet-Metrik

 

oder der translationsinvarianten Metrik

 

Für die Quasinorm wird die Dreiecksungleichung abgeschwächt, die positive Homogenität bleibt erhalten:

 

Für die Fréchet-Metrik wird hingegen die positive Homogenität abgeschwächt, die Dreiecksungleichung bleibt erhalten:

 

Diese Räume sind im Allgemeinen nicht lokalkonvex, der Satz von Hahn-Banach also im Allgemeinen nicht anwendbar, sodass es möglicherweise „sehr wenige“ lineare stetige Funktionale gibt. Insbesondere ist nicht gesichert, dass die schwache Topologie auf   Punkte trennen kann. Ein derartiges Beispiel liefert   mit  [5][7][8].

Raum der lokal integrierbaren FunktionenBearbeiten

Eine lokal integrierbare Funktion ist eine messbare Funktion, die nicht notwendigerweise auf ihrem kompletten Definitionsbereich integrierbar sein muss, jedoch muss sie für jedes Kompaktum, das im Definitionsbereich enthalten ist, integrierbar sein. Sei also   offen. Dann heißt eine Funktion   lokal integrierbar, falls für jedes Kompaktum   das Lebesgue-Integral

 

endlich ist. Die Menge dieser Funktionen wird mit   bezeichnet. Analog zu den  -Räumen bildet man auch hier Äquivalenzklassen von Funktionen, die sich nur auf einer Nullmenge unterscheiden, und erhält dann den Raum   als Faktorraum. Mit der Familie aller Halbnormen   (für kompakte Mengen  ) wird dieser zu einem hausdorffschen, lokalkonvexen und vollständigen topologischen Vektorraum; durch Auswahl abzählbar vieler Kompakta, die   geeignet approximieren, sogar ein Fréchet-Raum. Dieser Raum kann als Raum der regulären Distributionen verstanden werden und lässt sich daher stetig in den Raum der Distributionen einbetten. Analog zu   lassen sich auch die Räume   der lokal p-integrierbaren Funktionen definieren.

Sobolev-RäumeBearbeiten

Neben den schon angeführten Sobolev-Räumen mit quadratintegrierbaren Funktionen, gibt es noch weitere Sobolev-Räume. Diese werden mithilfe der schwachen Ableitungen definiert und umfassen  -integrierbare Funktionen. Verwendet werden diese Räume insbesondere zur Untersuchung von partiellen Differentialgleichungen.

Hardy-RäumeBearbeiten

Untersucht man statt der messbaren Funktionen nur die holomorphen beziehungsweise die harmonischen Funktionen auf Integrierbarkeit, so werden die entsprechenden  -Räume Hardy-Räume genannt.

Lebesgue-Räume auf MannigfaltigkeitenBearbeiten

Auf einer abstrakten differenzierbaren Mannigfaltigkeit, die nicht in einen euklidischen Raum eingebettet ist, existiert zwar kein kanonisches Maß und somit kann man keine  -Funktionen definieren. Es ist aber trotzdem möglich, ein Analogon zum  -Raum zu definieren, indem man statt Funktionen auf der Mannigfaltigkeit sogenannte 1-Dichten untersucht. Weitere Informationen sind im Artikel Dichtebündel zu finden.

QuellenBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Bochner-Integral. In: Guido Walz (Red.): Lexikon der Mathematik. Band 3: Inp bis Mon. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim u. a. 2001, ISBN 3-8274-0435-5.
  2. Haïm Brezis: Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations. Springer New York, New York NY 2010, ISBN 978-0-387-70913-0, Theorem 4.13.
  3. Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, Lemma V.1.10.
  4. Joseph Diestel, John J. Uhl: Vector measures (= Mathematical Surveys and Monographs. Bd. 15). American Mathematical Society, Providence RI 1977, ISBN 0-8218-1515-6, Seiten 98, 82.
  5. a b Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6. Auflage. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, Kapitel 6, S. 223–225, 229–234, 263, 268.
  6. Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. Band 3. 2. Auflage. Birkhäuser Verlag, Basel u. a. 2008, ISBN 978-3-7643-8883-6, Kapitel X: Integrationstheorie, Aufgabe 13, S. 131.
  7. Walter Rudin: Functional Analysis. 2. Auflage. McGraw-Hill, New York 1991, ISBN 0-07-054236-8, S. 36–37.
  8. Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis. Eine anwendungsorientierte Einführung. 6. Auflage. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-22260-3, Kapitel 2. Teilmengen von Funktionenräumen, U2.11, S. 140.