Hölderstetigkeit

Eigenschaft von Funktionen
(Weitergeleitet von Hölder-Stetigkeit)

Die Hölderstetigkeit (nach Otto Hölder) ist ein Konzept der Mathematik, das vor allem in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen von zentraler Bedeutung ist. Sie ist eine Verallgemeinerung der Lipschitzstetigkeit.

DefinitionBearbeiten

Sei   offen und  . Eine Abbildung   heißt hölderstetig zum Exponenten   genau dann, wenn eine positive reelle Zahl   existiert, so dass für alle   gilt:

 .

Allgemeiner heißt eine Funktion   zwischen zwei metrischen Räumen   und   hölderstetig mit Exponent   und Konstante  , falls für alle  

 

gilt.

BeispielBearbeiten

Für   ist die Funktion   mit   hölderstetig zum Exponenten   mit Konstante  , denn für   ergibt sich  , also  .

EigenschaftenBearbeiten

  • Die Definition ergibt im Spezialfall   die Lipschitzstetigkeit. Insbesondere ist also jede lipschitzstetige Funktion auch hölderstetig.
  • Hölderexponenten außerhalb von   werden üblicherweise nicht betrachtet. Im Falle von   erhielte man so beschränkte, aber nicht notwendigerweise stetige Funktionen. Im Falle   erfüllen nur konstante Funktionen die Bedingung aus der Definition.
  • Jede hölderstetige Funktion ist gleichmäßig stetig: Setze für gegebenes   etwa  . Dann folgt aus   wie gewünscht  .
  • Nicht jede gleichmäßig stetige Funktion ist hölderstetig. Dies zeigt folgendes Beispiel: Sei   eine beliebig gewählte Konstante. Die auf dem Intervall   gemäß
     
    definierte Funktion   ist laut Satz von Heine gleichmäßig stetig. Wäre sie auch hölderstetig, dann gäbe es Konstanten   und   mit   für alle  , also insbesondere
     
    laut Regel von de l’Hospital, was einen Widerspruch ergibt.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis. Springer, Berlin 2002.