Lokale Hölderstetigkeit

Eigenschaft von Funktionen

Die lokale Hölderstetigkeit ist ein Konzept der Mathematik, das die Hölderstetigkeit und damit auch die Lipschitzstetigkeit verallgemeinert. Sie ist nach Otto Hölder benannt und findet beispielsweise in der Wahrscheinlichkeitstheorie bei der Formulierung des Satzes von Kolmogorow-Tschenzow Verwendung. Dieser liefert Kriterien, wann Modifikationen eines stochastischen Prozesses existieren, die lokal hölderstetig sind.

Definition

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Gegeben seien zwei metrische Räume   und  . Eine Abbildung

 

heißt lokal hölderstetig der Ordnung γ oder kurz lokal hölder-γ-stetig, wenn zu jedem   ein echt positives   und eine echt positive Zahl   existiert, so dass für alle   mit   und   die Ungleichung

 

gilt.

Beispiele

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  • Jede lipschitzstetige Funktion mit Lipschitzkonstante   ist lokal hölderstetig mit Exponent   und  
  • Jede hölderstetige Abbildung mit Konstante   und Exponent   ist auch lokal hölderstetig mit Konstante   und Exponent  .

Eigenschaften

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  • Ist   eine reellwertige Funktion einer reellen Variable und lokal hölderstetig mit Exponent  , so ist   auch lokal hölderstetig für jeden Exponenten   mit  .
  • Ist der Definitionsbereich von   kompakt, so folgt aus der lokalen Hölderstetigkeit die Hölderstetigkeit. Im Allgemeinen ist dieser Schluss aber falsch.

Literatur

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