Orthogonalsystem

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In der Linearen Algebra und der Funktionalanalysis, Teilgebieten der Mathematik, ist ein Orthogonalsystem eine Menge von Vektoren eines Vektorraums mit Skalarprodukt (Prähilbertraum), die paarweise aufeinander senkrecht stehen. Sind die Vektoren zusätzlich noch normiert (d. h., sie haben die Norm 1), so spricht man von einem Orthonormalsystem.

DefinitionBearbeiten

Eine Teilmenge   eines Prähilbertraums   heißt Orthogonalsystem, wenn gilt:

  1. Je zwei verschiedene Vektoren aus   sind zueinander orthogonal:  
  2. Der Nullvektor ist nicht in der Menge enthalten.

Hier bezeichnet   das Skalarprodukt des Raums  , im euklidischen Raum also das Standardskalarprodukt.

Gilt zusätzlich

Jeder Vektor aus   ist normiert, d. h.  ,

so nennt man   ein Orthonormalsystem.

EigenschaftenBearbeiten

  • Orthogonalsysteme sind linear unabhängig.
  • In separablen Hilberträumen (insbesondere in allen endlichdimensionalen Hilberträumen) lässt sich mit dem Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren aus jedem linear unabhängigen System ein Orthogonalsystem (bzw. Orthonormalsystem) bzw. aus jeder (Schauder-)Basis eine orthogonale (bzw. orthonormale) Basis konstruieren.
  • Für ein Orthonormalsystem   gilt die Besselsche Ungleichung
     
  • Für jeden Vektor   ist die Menge der  , für die   gilt, höchstens abzählbar.

BeispieleBearbeiten

  • Im   mit dem Standardskalarprodukt ist die Standardbasis ein Orthogonalsystem
  • In   bilden die Funktionen   ein Orthogonalsystem (Siehe auch trigonometrisches Polynom)
  • In   mit dem Skalarprodukt   bilden die Folgen   ein Orthogonalsystem
  • In dem Prähilbertraum der Polynome mit Grad kleiner gleich 5,  , versehen mit dem  -Skalarprodukt  , bilden die Funktionen
  und  
ein Orthogonalsystem.

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6. korrigierte Auflage. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6. Kapitel V.3 (Für den unendlichdimensionalen Fall, dort finden sich auch Beweise für die Beispiele)
  • Gerd Fischer: Lineare Algebra: Eine Einführung für Studienanfänger. 13. Auflage. Vieweg, 2002, ISBN 3-528-97217-3. (Für den endlichdimensionalen Fall, dort unter „Erzeugendensystem“)