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Numerische Integration sucht einfache Approximationen des Wertes

In der numerischen Mathematik bezeichnet numerische Integration (traditionell auch als numerische Quadratur bezeichnet) die näherungsweise Berechnung von Integralen. Oft kann man Integrale nicht geschlossen lösen, weil für den Integranden keine Stammfunktion angegeben werden kann oder er nur durch diskrete Werte, etwa Messungen, gegeben ist. Dann versucht man, Näherungswerte zu ermitteln.

Dazu wird das Integral einer Funktion über dem Intervall dargestellt als Summe aus dem Wert einer Quadraturformel und dem Fehler :

Eine Quadraturformel besteht dabei im Allgemeinen aus einer gewichteten Summe von Funktionswerten

Die Stellen heißen Stützstellen und die Zahlen Gewichte. Es existieren verschiedene Ansätze, wie Stützstellen und Gewichte so gewählt werden können, dass der Quadraturfehler möglichst klein wird.

Eine Quadraturformel hat den Genauigkeitsgrad (oder auch Exaktheitsgrad) , wenn sie alle Polynome bis zum Höchstgrad exakt integriert, und die größtmögliche natürliche Zahl mit dieser Eigenschaft ist.

Ebenso wie das Integral sind Quadraturformeln lineare Operatoren.

Inhaltsverzeichnis

Interpolatorische QuadraturformelBearbeiten

Eine wichtige Klasse von Quadraturformeln ergibt sich durch die Idee, die Funktion   durch ein Interpolationspolynom   vom Grad   zu approximieren und dieses dann zu integrieren. Die Gewichte ergeben sich dann als die Integrale der Lagrange-Polynome zu den gegebenen Stützstellen. Nach Konstruktion haben diese Quadraturformeln mindestens den Genauigkeitsgrad  . Die Quadraturformel lautet also

 

mit den Gewichten

 

und den Lagrange-Polynomen

 

Falls die Integrationsgrenzen Stützstellen sind, spricht man von abgeschlossenen Quadraturformeln, sonst von offenen. Werden die Stützstellen äquidistant gewählt, so ergeben sich unter anderen die Newton-Cotes-Formeln. Zu den abgeschlossenen Newton-Cotes-Formeln gehören die Sehnentrapezregel und die Simpsonregel, zu den offenen gehört die Tangententrapezregel. Die Newton-Cotes-Formeln für gerades   haben sogar den Genauigkeitsgrad  . Zu den offenen Quadraturformeln gehören auch die Gauß-Quadraturformeln.

FehlerabschätzungBearbeiten

Mit   sei das kleinste Intervall bezeichnet, das die Stützstellen   und das Intervall   enthält. Ferner sei    -mal stetig differenzierbar auf  . Gemäß der Interpolationsgüte des Interpolationspolynoms gibt es ein  , so dass gilt:

 

Durch Integration erhält man die Fehlerformel für die numerische Quadratur

 .

Falls   für alle   gilt, ist der Quadraturfehler gleich 0. Da das für alle Polynome bis zum Grad   der Fall ist, ist der Genauigkeitsgrad dieser Quadraturformeln mindestens  .

Aus dieser Fehlerformel folgt die Fehlerabschätzung

 .

Falls die Funktion   im Intervall   ihr Vorzeichen nicht wechselt, d. h. wenn keine Stützstelle im Intervall   liegt, kann man mit Hilfe des Mittelwertsatzes der Integralrechnung folgende Darstellung für das Restglied herleiten:

 .

mit einer Zwischenstelle  .

Ähnliche Formeln für den Quadraturfehler erhält man auch bei speziellen Verteilungen der Stützstellen im Intervall  , etwa für die Newton-Cotes-Formeln oder die Gauß-Quadraturformeln.

Ist die Funktion   nur stetig, so gelten obige Aussagen nicht, der Fehler kann sehr groß werden.

Weitere QuadraturformelnBearbeiten

Der Versuch, die Fehlerordnung der Quadraturformel zu minimieren, führt auf die Gauß-Quadratur. Diese nutzen die Theorie orthogonaler Polynome, um Formeln zu erhalten, die den Genauigkeitsgrad   haben, wobei   die Anzahl der genutzten Funktionsauswertungen ist.

Um die Anzahl der Funktionsauswertungen zu minimieren, bei gleichzeitiger Möglichkeit den Fehler zu kontrollieren, verwendet man oft das Rombergsche Extrapolationsverfahren. Hierbei werden die Integralwerte von immer kleiner werdenden 'Streifen' zu einer verschwindenden Streifenbreite hin extrapoliert.

Summierte QuadraturformelnBearbeiten

Um das Integral noch besser anzunähern, unterteilt man das Intervall   in mehrere Teilintervalle, die nicht die gleiche Länge haben müssen. Mit einer der obigen Quadraturformeln berechnet man dann das Integral näherungsweise in jedem Teilintervall und addiert die Ergebnisse. Von besonderem Interesse sind hier adaptive Formeln, die ein Intervall weiter unterteilen, wenn in diesem Intervall der geschätzte Fehler oberhalb einer gegebenen Schranke liegt.

Monte-Carlo-IntegrationBearbeiten

Ein Verfahren, das nicht versucht, eine Näherungsformel für die zu integrierende Funktion heranzuziehen, ist die Monte-Carlo-Integration. Anschaulich gesagt wird hierbei das Integral dadurch bestimmt, dass   zufällige Punkte   im Integrationsintervall   (horizontal) erzeugt werden. Dann ergibt sich eine Näherung des Integrals als Durchschnitt der Funktionswerte dieser Stellen

 

Der Vorteil ist die vergleichsweise einfache Implementierung sowie die relativ einfache Erweiterbarkeit auf Vielfachintegrale. Hier sind klassische Integrationsalgorithmen stark vom Fluch der Dimensionalität betroffen und für hochdimensionale Probleme nicht mehr anwendbar. Allerdings sind speziell hochdimensionale Integranden meist stark lokalisiert[1]. In diesen Fällen erlauben insbesondere MCMC-Verfahren die Erzeugung von Stichproben mit einer Verteilung die eine effiziente Berechnung solcher hochdimensionaler Integrale erlaubt.

LiteraturBearbeiten

  • Hans R. Schwarz, Norbert Köckler: Numerische Mathematik. 6. Auflage, Teubner, Stuttgart 2006, ISBN 3-519-42960-8
  • Helmut Braß:Quadraturverfahren , Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1977, ISBN 978-3525401422
  • H. Braß,K. Petras: Quadrature Theory (Mathematical Surveys and Monographs), Published by American Mathematical Society (2011), ISBN 9780821853610

WeblinksBearbeiten

  Commons: Graphen zur numerischen Integration – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

EinzelnachweiseBearbeiten