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Die Gauß-Quadratur (nach Carl Friedrich Gauß) ist ein Verfahren zur numerischen Integration, das bei gegebenen Freiheitsgraden eine optimale Approximation des Integrals liefert. Bei diesem Verfahren wird die zu integrierende Funktion aufgeteilt in , wobei eine Gewichtsfunktion ist und durch ein spezielles Polynom mit speziell gewählten Auswertungspunkten approximiert wird. Dieses Polynom lässt sich exakt integrieren. Das Verfahren ist also von der Form

.

Die Gewichtsfunktion ist größer gleich Null, hat endlich viele Nullstellen und ist integrierbar. ist eine stetige Funktion. Der Integrationsbereich ist nicht auf endliche Intervalle beschränkt. Weiterhin werden als Knoten, Abszissenwerte oder Stützstellen und die Größen als Gewichte bezeichnet.

Das Verfahren wurde 1814 von Gauß veröffentlicht,[1] in der heutigen Form mit orthogonalen Polynomen von Carl Gustav Jacobi 1826.[2]

Inhaltsverzeichnis

EigenschaftenBearbeiten

Um optimale Genauigkeit zu erreichen, müssen die Abszissenwerte   einer Gauß-Quadraturformel vom Grad   genau den Nullstellen des  -ten orthogonalen Polynoms   vom Grad   entsprechen. Die Polynome  ,  , …,   müssen dabei orthogonal bezüglich des mit   gewichteten Skalarprodukts sein,

 

Für die Gewichte gilt:

 

Die Gauß-Quadratur stimmt für polynomiale Funktionen  , deren Grad maximal   ist, mit dem Wert des Integrals exakt überein. Es lässt sich zeigen, dass keine Quadraturformel existiert, die alle Polynome vom Grad   exakt integriert. In dieser Hinsicht ist die Ordnung des Quadraturverfahrens optimal.

Ist die zu integrierende Funktion   hinreichend glatt, d. h. ist sie   mal stetig differenzierbar in  , so kann für den Fehler   der Gaußquadratur mit   Stützstellen gezeigt werden:[3]

  für ein  .

AnwendungBearbeiten

Die gaußsche Quadratur findet Anwendung bei der numerischen Integration. Dabei werden für eine gegebene Gewichtsfunktion und einen gegebenen Grad n, der die Genauigkeit der numerischen Integration bestimmt, einmalig die Stützpunkte   und Gewichtswerte   berechnet und tabelliert. Anschließend kann für beliebige   die numerische Integration durch einfaches Aufsummieren von gewichteten Funktionswerten erfolgen.

Dieses Verfahren ist damit potentiell vorteilhaft

  1. wenn viele Integrationen mit derselben Gewichtsfunktion durchgeführt werden müssen und
  2. wenn   hinreichend gut durch ein Polynom approximierbar ist.

Für einige spezielle Gewichtsfunktionen sind die Werte für die Stützstellen und Gewichte fertig tabelliert.

Gauß-Legendre-IntegrationBearbeiten

Dies ist die bekannteste Form der Gauß-Integration auf dem Intervall  , sie wird oft auch einfach als Gauß-Integration bezeichnet. Es gilt  . Die resultierenden orthogonalen Polynome sind die Legendre-Polynome erster Art. Wir erhalten mit den Stützpunkten   und den zugehörige Gewichten   die Approximation

 .

Die Erweiterung auf beliebige Intervalle   erfolgt durch eine Variablentransformation:

 .

Die Stützpunkte (auch Gaußpunkte genannt) und Gewichte der Gauß-Legendre-Integration sind:

n=1    
1 0 2
n=2    
1   1
2   1
n=3    
1    
2 0  
3    
n=4    
1    
2    
3    
4    
n=5    
1    
2    
3 0  
4    
5    

Gauß-Tschebyschow-IntegrationBearbeiten

 
Im Gegensatz zur Schulmethode ist die Breite der einzelnen Balken, hier Gewicht genannt, nicht konstant, sondern nimmt zu den Intervallrändern hin ab. Sie beträgt  .

Eine Variante der Gauß-Integration auf dem Intervall   ist jene mit der Gewichtsfunktion  . Die dazugehörigen orthogonalen Polynome sind die Tschebyschow-Polynome, deren Nullstellen und damit auch die Stützpunkte der Quadraturformel direkt in analytischer Form vorliegen:

 

während die Gewichte nur von der Anzahl der Stützpunkte abhängen:

 .

Die Erweiterung auf beliebige Intervalle   erfolgt durch eine Variablentransformation (siehe unten). Das gesuchte Integral   kann umgeformt werden in  . Zur numerischen Berechnung wird das Integral nun durch die Summe   approximiert. Durch Einsetzen der Stützpunkte in analytischer Form erhält man

 ,

was der n-fachen Anwendung der Mittelpunktsregel über dem Intervall 0 bis Pi entspricht. Der Fehler kann für einen geeigneten Wert für t zwischen 0 und Pi abgeschätzt werden über

 

Gauß-Hermite-IntegrationBearbeiten

Gauß-Integration auf dem Intervall  . Es gilt  . Die resultierenden orthogonalen Polynome sind die Hermite-Polynome. Das gesuchte Integral   kann umgeformt werden in  . Zur numerischen Berechnung wird es nun durch die Summe   approximiert.

Stützpunkte und Gewichte der Gauß-Hermite-Integration:

n=1      
1 0   1,7724538509055159
n=2      
1     1,46114118266
2     1,46114118266
n=3      
1     1,32393117521
2 0   1,1816359006
3     1,32393117521
n=4      
1 −1,65068012389 0,0813128354472 1,2402258177
2 −0,524647623275 0,804914090006 1,05996448289
3 0,524647623275 0,804914090006 1,05996448289
4 1,65068012389 0,0813128354472 1,2402258177

Gauß-Laguerre-IntegrationBearbeiten

Gauß-Integration auf dem Intervall  . Es gilt  . Die resultierenden orthogonalen Polynome sind die Laguerre-Polynome. Das gesuchte Integral   kann umgeformt werden in  . Zur numerischen Berechnung wird es nun durch die Summe   approximiert.

Stützpunkte und Gewichte der Gauß-Laguerre-Integration:

n=1      
1 1 1 2,7182818284590451
n=2      
1     1,53332603312
2     4,45095733505
n=3      
1 0,415774556783 0,711093009929 1,07769285927
2 2,29428036028 0,278517733569 2,7621429619
3 6,28994508294 0,0103892565016 5,60109462543
n=4      
1 0,322547689619 0,603154104342 0,832739123838
2 1,74576110116 0,357418692438 2,04810243845
3 4,53662029692 0,038887908515 3,63114630582
4 9,3950709123 0,000539294705561 6,48714508441

Gauß-Lobatto-IntegrationBearbeiten

Mit dieser nach Rehuel Lobatto benannten Version wird auf dem Intervall   integriert, wobei zwei der   Stützstellen an den Enden des Intervalls liegen. Die Gewichtsfunktion ist  . Polynome   bis zum Grad   werden exakt integriert.

 

Dabei ist  , und   bis   sind die Nullstellen der ersten Ableitung des Legendre-Polynoms  . Die Gewichte sind

 
n Stützstellen   Gewichte  
     
   
     
   
     
   
   
     
   
   
     
   
   
   

Variablentransformation bei der Gauß-QuadraturBearbeiten

Ein Integral über   wird auf ein Integral über   zurückgeführt, bevor man die Methode der Gauß-Quadratur anwendet. Dieser Übergang kann durch   mit   und   sowie   und Anwendung der Integration durch Substitution mit   auf folgende Weise geschehen:

 

Seien nun   die Stützstellen und   die Gewichte der Gauß-Quadratur über dem Intervall  , bzw.  . Deren Zusammenhang ist also durch

 

gegeben.

Adaptives Gauß-VerfahrenBearbeiten

Da der Fehler bei der Gauß-Quadratur, wie oben erwähnt, abhängig von der Anzahl der gewählten Stützstellen ist und sich mit einer größeren Anzahl Stützstellen gerade der Nenner erheblich vergrößern kann, legt dies nahe, bessere Näherungen mit größerem   zu erhalten. Die Idee ist, zu einer vorhandenen Näherung   eine bessere Näherung, beispielsweise  , zu berechnen, um die Differenz zwischen beiden Näherungen zu betrachten. Sofern der geschätzte Fehler   eine gewisse absolute Vorgabe   überschreitet, ist das Intervall aufzuteilen, sodass auf   und   die  -Quadratur erfolgen kann. Jedoch ist die Auswertung einer   Gauß-Quadratur ziemlich kostspielig, da insbesondere für   im Allgemeinen   neue Stützstellen berechnet werden müssen, sodass sich für die Gauß-Quadratur mit Legendre-Polynomen die adaptive Gauß-Kronrod-Quadratur anbietet.

Adaptive Gauß-Kronrod-QuadraturBearbeiten

Die präsentierte Kronrod-Modifikation, welche nur für die Gauß-Legendre-Quadratur existiert, basiert auf der Verwendung der bereits gewählten   Stützstellen und der Hinzunahme von   neuen Stützstellen.[4] Während die Existenz optimaler Erweiterungen für die Gauß-Formeln von Szegö belegt wurde, leitete Kronrod (1965) für die Gauß-Legendre-Formeln optimale   Punkte her, die den Präzisionsgrad   sicherstellen.[4] Wenn die mithilfe der erweiterten Knotenzahl von   berechnete Näherung als   definiert wird, lautet die Fehlerschätzung:

 

Diese kann dann mit einem   verglichen werden, um dem Algorithmus ein Abbruchkriterium zu geben. Die   Kronrod-Knoten und -Gewichte zu den   Gauß-Legendre-Knoten und -Gewichten sind für   in der folgenden Tabelle festgehalten. Die Gauß-Knoten wurden mit einem (G) markiert.

n=3    
1 ~0,960491268708020283423507092629080 ~0,104656226026467265193823857192073
2 ~0,774596669241483377035853079956480 (G) ~0,268488089868333440728569280666710
3 ~0,434243749346802558002071502844628 ~0,401397414775962222905051818618432
4 0 (G) ~0,450916538658474142345110087045571
5 ~-0,434243749346802558002071502844628 ~0,401397414775962222905051818618432
6 ~-0,774596669241483377035853079956480 (G) ~0,268488089868333440728569280666710
7 ~-0,960491268708020283423507092629080 ~0,104656226026467265193823857192073
n=7    
1 ~0,991455371120812639206854697526329 ~0,022935322010529224963732008058970
2 ~0,949107912342758524526189684047851 (G) ~0,063092092629978553290700663189204
3 ~0,864864423359769072789712788640926 ~0,104790010322250183839876322541518
4 ~0,741531185599394439863864773280788 (G) ~0,140653259715525918745189590510238
5 ~0,586087235467691130294144838258730 ~0,169004726639267902826583426598550
6 ~0,405845151377397166906606412076961 (G) ~0,190350578064785409913256402421014
7 ~0,207784955007898467600689403773245 ~0,204432940075298892414161999234649
8 0 (G) ~0,209482141084727828012999174891714
9 ~-0,207784955007898467600689403773245 ~0,204432940075298892414161999234649
10 ~-0,405845151377397166906606412076961 (G) ~0,190350578064785409913256402421014
11 ~-0,586087235467691130294144838258730 ~0,169004726639267902826583426598550
12 ~-0,741531185599394439863864773280788 (G) ~0,140653259715525918745189590510238
13 ~-0,864864423359769072789712788640926 ~0,104790010322250183839876322541518
14 ~-0,949107912342758524526189684047851 (G) ~0,063092092629978553290700663189204
15 ~-0,991455371120812639206854697526329 ~0,022935322010529224963732008058970

WeblinksBearbeiten

LiteraturBearbeiten

  • V. I. Krylov: Approximate Calculation of Integrals. MacMillan, New York 1962.
  • P. Davis, P. Rabinowitz: Methods of Numerical Integration. 2. Auflage. Academic Press, 1984.
  • A. H. Stroud, D. Secrest: Gaussian Quadrature Formulas. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ 1966.
  • A. H. Stroud: Approximate Calculation of Multiple Integrals. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ 1971.

QuellenBearbeiten

  1. Methodus nova integralium valores per approximationem inveniendi. In: Comm. Soc. Sci. Göttingen Math. Band 3, 1815, S. 29–76, Gallica, datiert 1814, auch in Werke, Band 3, 1876, S. 163–196.
  2. C. G. J. Jacobi: Ueber Gauß’ neue Methode, die Werthe der Integrale näherungsweise zu finden. In: Journal für Reine und Angewandte Mathematik. Band 1, 1826, S. 301–308, (online), und Werke, Band 6.
  3. Ronald W. Freund, Ronald H. W. Hoppe: Stoer/Bulirsch: Numerische Mathematik 1. Zehnte, neu bearbeitete Auflage. Springer-Verlag, Berlin/ Heidelberg 2007, S. 195.
  4. a b Robert Piessens, Elise de Doncker-Kapenga, Christoph W. Überhuber, David K. Kahaner: QUADPACK: A subrotine package for automatic integration. Springer-Verlag, Berlin/ Heidelberg/ New York 1983, S. 16–17.