Splitting-Verfahren

In der numerischen Mathematik sind Splitting-Verfahren iterative Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme mit einer Matrix und rechter Seite Im Unterschied zu direkten Verfahren nähert man sich dabei ausgehend von einer Startnäherung schrittweise der gesuchten Lösung an und bricht ab, falls die Genauigkeit hoch genug ist.

BeschreibungBearbeiten

Das Verfahren ergibt sich über ein Splitting der Systemmatrix   mit einer invertierbaren Matrix  .

 

Daraus erhält man die Fixpunktgleichung

 .

Mit  , wobei   die Einheitsmatrix bezeichnet, ergibt sich die Fixpunktiteration

  1. Wähle einen Startvektor  .
  2. Setze  .

Man kann die Iteration abbrechen, falls die Norm des Residuums   eine vorgegebene Fehlerschranke unterschreitet. Das Verfahren konvergiert genau dann, wenn der Spektralradius der Matrix   kleiner 1 ist. Mit Hilfe des banachschen Fixpunktsatzes folgt ferner die lineare Konvergenzgeschwindigkeit der gesamten Verfahrensklasse. Je kleiner der Spektralradius ist, umso schneller konvergiert das Verfahren. Falls sich   und   nur wenig unterscheiden, kann man mit dem Störungslemma zeigen, dass auch der Spektralradius von   klein ist. Damit ergibt sich ein Gegensatz von schneller Konvergenz (  approximiert   sehr gut) zu geringen Kosten pro Iteration (  ist einfach invertierbar). Insgesamt sind diese Verfahren für viele praktische Probleme zu langsam. Allerdings stellen sie aufgrund ihrer einfachen Anwendbarkeit gute Vorkonditionierer dar. Darüber hinaus sind viele Splitting-Verfahren als Glätter in einem Mehrgitterverfahren geeignet.

BeispieleBearbeiten

ModifikationenBearbeiten

Man unterscheidet zwischen stationären Verfahren mit konstanter Iterationsmatrix und instationären Verfahren, wo die Matrizen   vom Index   abhängen dürfen.

LiteraturBearbeiten

  • A. Meister: Numerik linearer Gleichungssysteme, 2. Auflage, Vieweg 2005, ISBN 3528131357