Fixpunktsatz von Banach

mathematischer Satz

Der Fixpunktsatz von Banach, auch als Banachscher Fixpunktsatz bezeichnet, ist ein mathematischer Satz aus der Funktionalanalysis, einem Teilgebiet der Mathematik. Er gehört zu den Fixpunktsätzen und liefert neben der Existenz und der Eindeutigkeit eines Fixpunktes auch die Konvergenz der Fixpunktiteration. Somit ist die Aussage konstruktiv. Es wird also ein Verfahren zur Bestimmung des Fixpunktes sowie eine Fehlerabschätzung für ebendieses angegeben.

Mit dem Fixpunktsatz von Banach lässt sich beispielsweise die Konvergenz von iterativen Verfahren wie dem Newton-Verfahren zeigen und der Satz von Picard-Lindelöf beweisen, der Grundlage der Existenztheorie gewöhnlicher Differentialgleichungen ist.

Der Satz ist nach Stefan Banach benannt, der ihn 1922 zeigte.[1]

Eine Veranschaulichung des Satzes liefert eine Landkarte, auf der die Umgebung, in der man sich befindet, abgebildet ist. Sieht man diese Karte als Kontraktion der Umgebung, so findet man genau einen Punkt auf der Karte, der mit dem direkt darunter liegenden Punkt in der realen Welt übereinstimmt.

AussageBearbeiten

Gegeben seien ein vollständiger metrischer Raum  , beispielsweise ein Banach-Raum mit der Metrik  , und eine nichtleere, abgeschlossene Menge  . Sei

 

eine Kontraktion mit Kontraktionszahl  . Das bedeutet, es gilt

  für alle  .

Außerdem sei die Folge   iterativ definiert durch

 

für einen beliebigen Startwert   aus  .

Unter den obigen Voraussetzungen gilt:

Es existiert genau ein  , so dass
 
ist. Für alle   gilt außerdem
 

Die Abbildung   besitzt also einen eindeutig bestimmten Fixpunkt und dieser stimmt für alle Startwerte der oben angegebenen Iterationsvorschrift mit dem Grenzwert der Iteration überein.

Fehlerabschätzung der FixpunktiterationBearbeiten

Für die Iterationsvorschrift

 

gelten folgende Fehlerabschätzungen:

 
 

Außerdem gilt die Abschätzung

 ,

die Konvergenzgeschwindigkeit ist also linear.

BemerkungBearbeiten

In der Literatur finden sich teils von der oben angegebenen Aussage abweichende Formulierungen. Mögliche Unterschiede sind:

  • Die Eigenschaft der Abbildung  , eine Kontraktion zu sein, wird stattdessen über die Lipschitz-Stetigkeit formuliert. Dann muss   auf   Lipschitz-stetig sein mit einer Lipschitz-Konstante  .
  • Der zugrunde liegende Raum ist ein anderer. So wird der Satz teils auf Banachräumen (das heißt auf vollständigen normierten Räumen) formuliert oder auf  . Die Aussage wie auch der Beweis bleiben identisch, es ist dann lediglich   im Falle eines normierten Raumes   beziehungsweise   im reellen Fall zu setzen.

BeweisskizzeBearbeiten

Der Beweis der Aussage basiert darauf, zu zeigen, dass die Folge   eine Cauchy-Folge ist, die dann aufgrund der Vollständigkeit des zugrundeliegenden Raumes konvergiert.

Zuerst gilt aufgrund der Kontraktivität

 

Durch wiederholtes Anwenden dieser Abschätzung erhält man

  (1)

Des Weiteren folgt durch wiederholtes Abschätzen mit der Dreiecksungleichung

  (2)

Schätzt man die einzelnen Summenglieder der rechten Seite von (2) durch (1) ab, so erhält man

 

Die letzte Abschätzung folgt hier mithilfe der geometrischen Reihe, da  . Aus der Abschätzung folgt direkt, dass   eine Cauchy-Folge ist. Aufgrund der Vollständigkeit existiert dann der Grenzwert

 

der Folge. Da   eine Abbildung von   in sich selbst ist, und   abgeschlossen ist, ist   in der Menge   enthalten.

Da   stetig ist (da kontraktiv), folgt

 ,

der Grenzwert   ist also Fixpunkt.

Angenommen, es existieren zwei Fixpunkte  . Dann ist

  und  .

Aus der Kontraktivität folgt dann

 .

Da aber   ist, muss   sein. Daher ist  .

AnwendungenBearbeiten

Dieser Satz wird in vielen konstruktiven Sätzen der Analysis benutzt, die wichtigsten sind:

In der numerischen Mathematik spielt die Fixpunktiteration eine wichtige Rolle. Beispiele hierfür sind die Konvergenztheorien numerischer Verfahren, wie das Newton-Verfahren oder das Splitting-Verfahren.

UmkehrungBearbeiten

Die folgende auch als Satz von Bessaga bekannte Aussage stellt eine Umkehrung des Fixpunktsatzes dar:

  • Ist   eine Funktion auf einer nichtleeren Menge, so dass   und alle Iterierten   genau einen Fixpunkt haben, so gibt es zu jedem   eine vollständige Metrik   auf  , so dass   bzgl.   eine Kontraktion mit der Kontraktionskonstanten   ist.[2]

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Werner: Funktionalanalysis. 2011, S. 197.
  2. William A. Kirk, Brailey Sims (Hrsg.): Handbook of Metric Fixed Point Theory. Kluwer, Dordrecht u. a. 2001, ISBN 0-7923-7073-2, Theorem 8.1.